MATH-PRO-04 古典概型与几何概型

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一、定位信息

项目	内容
所属章节	第一章 随机事件和概率
知识单元编号	MATH-PRO-04
前置知识	MATH-PRO-01~03
后续关联	MATH-PRO-05（条件概率）、MATH-PRO-06（全概率公式）
考试地位	计算概率的基本模型，选择题和填空题高频考点
难度等级	★★★☆☆

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二、知识点讲解

1. 古典概型（等可能概型）

定义：若随机试验满足以下两个条件，则称为古典概型：

条件1（有限性）：样本空间 $\Omega$ 只含有限个样本点，即 $\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n\}$。

条件2（等可能性）：每个样本点出现的概率相等，即 $P(\{\omega_i\}) = \frac{1}{n}$，$i = 1, 2, \ldots, n$。

在古典概型中，事件 $A$ 的概率为：

$\boxed{P(A) = \frac{A \text{ 包含的样本点数}}{\Omega \text{ 中样本点总数}} = \frac{k}{n}}$

其中 $k$ 为 $A$ 中样本点个数，$n$ 为 $\Omega$ 中样本点总数。

2. 排列与组合公式（计数工具）

排列：从 $n$ 个不同元素中取 $r$ 个排列： $A_n^r = P_n^r = \frac{n!}{(n-r)!}$

组合：从 $n$ 个不同元素中取 $r$ 个组合： $C_n^r = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

常用计数技巧：

• "至少一个"→用对立事件：$n$ 次独立重复试验中至少成功一次的概率 $= 1 - (1-p)^n$
• 排列vs组合：有序用排列，无序用组合

3. 几何概型

定义：当样本空间 $\Omega$ 为某个几何区域（线段、平面区域、空间区域），且每个基本事件的发生具有等可能性时，事件 $A$ 的概率为：

$\boxed{P(A) = \frac{A \text{ 对应的几何测度}}{\Omega \text{ 的几何测度}} = \frac{S(A)}{S(\Omega)}}$

其中"几何测度"可以是长度、面积或体积。

几何概型与古典概型的区别：古典概型样本点有限，几何概型样本点无限（不可列）。

4. 古典概型的常用模型

模型	描述	概率计算
抽签模型	$n$ 个签中 $m$ 个有奖，抽 $k$ 次	$P = \frac{C_m^1 C_{n-m}^{k-1}}{C_n^k}$（第1次抽中）或用全概率
生日问题	$n$ 人中至少两人生日相同	$P = 1 - \frac{365!}{(365-n)! \cdot 365^n}$
超几何分布	$N$ 件中 $M$ 件次品，取 $n$ 件恰 $k$ 件次品	$P = \frac{C_M^k C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$

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三、记忆辅助

1. 古典概型两条件："有限+等可能"，缺一不可。
2. 几何概型公式：$P(A) = \frac{S(A)}{S(\Omega)}$——"面积之比"（或长度之比、体积之比）。
3. 排列vs组合：排列有顺序（$A_n^r$），组合无顺序（$C_n^r$）。"选人排队用排列，选人组队用组合"。
4. 超几何分布：不放回抽样，$\frac{\text{选中} \times \text{未选中}}{\text{总数}}$。

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四、例题精解

【例题1】古典概型——取球问题

题目：袋中有5个红球和3个白球，从中任取3个球，求恰好取到2个红球的概率。

解答：

第一步：确定样本空间

从8个球中任取3个，样本空间总数为： $n = C_8^3 = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = 56$

第二步：确定事件 $A$ 的样本点数

$A$ = "恰好2个红球"= "2红1白"： $k = C_5^2 \cdot C_3^1 = 10 \times 3 = 30$

第三步：计算概率

$P(A) = \frac{k}{n} = \frac{30}{56} = \frac{15}{28}$

第四步：验证

其他情况：3红0白 = $C_5^3 = 10$，1红2白 = $C_5^1 C_3^2 = 15$，0红3白 = $C_3^3 = 1$。 总计：$30 + 10 + 15 + 1 = 56 = C_8^3$ ✓

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【例题2】几何概型——约会问题

题目：甲、乙两人约定在下午1点到2点之间在某地会面，先到者等候20分钟后即离去。设两人在1点到2点内任意时刻到达是等可能的，求两人能会面的概率。

解答：

第一步：建立坐标系

设甲到达时间为 $x$（分钟），乙到达时间为 $y$（分钟），$0 \leq x \leq 60$，$0 \leq y \leq 60$。

样本空间 $\Omega$ 为边长为60的正方形，面积 $S(\Omega) = 60^2 = 3600$。

第二步：确定事件 $A$ 的区域

两人能会面的条件：$|x - y| \leq 20$，即 $-20 \leq x - y \leq 20$。

第三步：计算面积

$A$ 的区域 = 正方形减去两个三角形。

两个三角形各为边长40的等腰直角三角形，面积各为 $\frac{1}{2} \times 40^2 = 800$。

$S(A) = 3600 - 2 \times 800 = 3600 - 1600 = 2000$

第四步：计算概率

$P(A) = \frac{S(A)}{S(\Omega)} = \frac{2000}{3600} = \frac{5}{9}$

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五、考情分析

年份	题型	考点	分值
高频	选择/填空	古典概型计数	4分
中频	填空题	几何概型（约会问题类）	4分
偶尔	解答题	超几何分布相关概率计算	10分

命题规律：

• 古典概型是每年必考内容，常以选择题出现。
• 几何概型每隔几年考一次，常考"约会问题"类型。
• 计数是关键，排列组合必须熟练。

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六、易错点

1. 忽视"等可能性"条件：不是所有有限样本空间都适用古典概型。如掷两枚骰子，若以"点数之和"为样本空间，则 $\{2,3,\ldots,12\}$ 不是等可能的。

2. 排列组合选用错误："有序"用排列，"无序"用组合。经典错误：从 $n$ 人中选2人，用 $A_n^2$ 而非 $C_n^2$。

3. 几何概型的测度选取错误：一维问题用长度，二维问题用面积，三维问题用体积。不可混用。

4. 重复计数或遗漏：在复杂计数问题中，建议用"分类加法、分步乘法"原则，分类要互斥且穷举。

5. 几何概型的"等可能"假设：必须确保基本事件在几何区域上是"均匀分布"的，否则不能用几何概型。

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七、来源标注

来源	说明
教材	浙大版《概率论与数理统计》第1章 §1.4-1.5
大纲	考研数学一大纲"古典概型与几何概型"
重点	超几何分布、约会问题为经典考题