MATH-PRO-12 随机变量函数的分布

数学一 > ### 概率论与数理统计 > #### 随机变量函数的分布

---

一、定位信息

项目	内容
所属章节	第二章 随机变量及其分布
知识单元编号	MATH-PRO-12
前置知识	MATH-PRO-08~11
后续关联	MATH-PRO-18（两个随机变量函数的分布）
考试地位	高频考点，解答题常考
难度等级	★★★★☆

---

二、知识点讲解

1. 问题描述

设随机变量 $X$ 的分布已知，$Y = g(X)$（$g$ 为已知函数），求 $Y$ 的分布。

2. 离散型：列表法

若 $X$ 的分布律为 $P(X = x_k) = p_k$，则 $Y = g(X)$ 的分布律为：

$P(Y = g(x_k)) = p_k$

注意：若 $g(x_i) = g(x_j)$（不同 $x$ 对应相同 $y$），需合并概率。

3. 连续型：分布函数法（通用方法）

步骤：

1. 写出 $Y$ 的分布函数：$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(g(X) \leq y)$
2. 将 $P(g(X) \leq y)$ 转化为关于 $X$ 的概率：$= P(X \in D_y)$，其中 $D_y = \{x \mid g(x) \leq y\}$
3. 用 $X$ 的密度函数计算：$F_Y(y) = \int_{D_y} f_X(x)\,dx$
4. 求导得 $Y$ 的密度：$f_Y(y) = F_Y'(y)$

4. 连续型：公式法（单调函数情形）

定理：设 $X$ 的密度为 $f_X(x)$，$Y = g(X)$，若 $g(x)$ 严格单调且可导，则：

$\boxed{f_Y(y) = f_X[h(y)] \cdot |h'(y)|}$

其中 $h(y) = g^{-1}(y)$ 是 $g$ 的反函数。

推广：若 $g(x)$ 不是单调的，但可以分为若干单调区间，则在各区间分别用公式法再求和。

5. 正态分布的线性变换

重要结论：若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$Y = aX + b$（$a \neq 0$），则：

$Y \sim N(a\mu + b, a^2\sigma^2)$

特别地，$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$（标准化）。

---

三、记忆辅助

1. 分布函数法四步：写 $F_Y(y)$ → 转化为 $X$ 的概率 → 积分 → 求导。
2. 公式法条件：$g$ 严格单调可导 → $f_Y(y) = f_X[h(y)]|h'(y)|$。
3. 正态线性变换：$aX+b \sim N(a\mu+b, a^2\sigma^2)$——期望乘加，方差乘平方。
4. 离散型用列表：把 $Y=g(X)$ 的所有取值列出，合并相同值的概率。

---

四、例题精解

【例题1】公式法（单调函数）

题目：设 $X \sim E(1)$（即 $f_X(x) = e^{-x}$，$x > 0$），$Y = 2X + 1$，求 $f_Y(y)$。

解答：

第一步：确定 $Y$ 的取值范围

$X > 0$，故 $Y = 2X + 1 > 1$。

第二步：用公式法

$g(x) = 2x + 1$，严格单调递增。反函数：$x = h(y) = \frac{y-1}{2}$，$h'(y) = \frac{1}{2}$。

第三步：代入公式

$f_Y(y) = f_X[h(y)] \cdot |h'(y)| = e^{-\frac{y-1}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}e^{-\frac{y-1}{2}}, \quad y > 1$

第四步：写出完整结果

$f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{2}e^{-\frac{y-1}{2}}, & y > 1 \\ 0, & y \leq 1 \end{cases}$

验证：$\int_1^{+\infty} \frac{1}{2}e^{-\frac{y-1}{2}}dy = e^{-\frac{y-1}{2}}\Big|_{+\infty}^1 = 1$ ✓

---

【例题2】分布函数法（非单调函数）

题目：设 $X \sim N(0, 1)$，$Y = X^2$，求 $f_Y(y)$。

解答：

第一步：写出 $Y$ 的分布函数

$Y = X^2 \geq 0$，当 $y \leq 0$ 时 $F_Y(y) = 0$。

当 $y > 0$ 时： $F_Y(y) = P(X^2 \leq y) = P(-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}) = \Phi(\sqrt{y}) - \Phi(-\sqrt{y})$

第二步：利用对称性

$F_Y(y) = \Phi(\sqrt{y}) - (1 - \Phi(\sqrt{y})) = 2\Phi(\sqrt{y}) - 1$

第三步：求导

$f_Y(y) = F_Y'(y) = 2\varphi(\sqrt{y}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{y}} \varphi(\sqrt{y})$

其中 $\varphi(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}$，故：

$f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi y}} e^{-y/2}, \quad y > 0$

第四步：识别分布

这是自由度为1的 $\chi^2$ 分布：$Y = X^2 \sim \chi^2(1)$。

$f_Y(y) = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{2\pi y}} e^{-y/2}, & y > 0 \\ 0, & y \leq 0 \end{cases}$

---

五、考情分析

年份	题型	考点	分值
高频	解答题	连续型随机变量函数的分布	10-12分
中频	选择/填空	正态分布线性变换	4分
中频	计算	分布函数法求密度	10分

命题规律：

• 分布函数法是万能方法，必须熟练掌握。
• $Y = X^2$（正态→卡方）是经典考题。
• 公式法适用于单调函数，非单调函数必须用分布函数法。

---

六、易错点

1. 忘记确定 $Y$ 的取值范围：$Y$ 的取值范围由 $X$ 的取值范围和 $g$ 共同决定。
2. 公式法中忘记取绝对值：$|h'(y)|$ 不是 $h'(y)$，当 $g$ 递减时 $h'(y) < 0$。
3. 非单调函数不能直接用公式法：如 $Y = X^2$，$g(x) = x^2$ 不单调，必须用分布函数法。
4. 合并相同取值：离散型中 $g(x_i) = g(x_j)$ 时，$P(Y = g(x_i)) = p_i + p_j$。

---

七、来源标注

来源	说明
教材	浙大版《概率论与数理统计》第2章 §2.5
大纲	考研数学一大纲"随机变量函数的分布"
重点	分布函数法、公式法为高频考点