数学一

高等数学

知识单元 MATH-CAL-51：傅里叶级数

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一、定位信息

• 圈层：核心层（大纲考点）
• 前置知识回顾：定积分的计算（尤其是三角函数的积分）、周期函数的概念、正交函数系的概念（$\{\sin nx\}$ 和 $\{\cos nx\}$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上正交）。需要熟练掌握分部积分法和三角函数的积化和差公式。
• 知识网络定位：本单元是无穷级数的终章，上承幂级数展开理论，是将周期函数展开为三角级数的方法。与泰勒展开（幂级数展开）相对应，傅里叶展开是另一种重要的函数展开方式，在信号处理、物理学中有广泛应用。考研重点在于傅里叶系数的计算和狄利克雷收敛定理。
• 考点热度等级：M级（中频常考）。傅里叶级数的计算题约2-3年出现一次，分值4-8分，属于级数章节中难度较高的考点。

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二、知识点讲解

2.1 三角函数系的正交性

定义：函数系

$\{1, \cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x, \ldots, \cos nx, \sin nx, \ldots\}$

在区间 $[-\pi, \pi]$ 上具有以下正交性：

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx\,dx = \begin{cases} 0, & m \neq n \\ \pi, & m = n \neq 0 \end{cases}$

$\int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx\,dx = \begin{cases} 0, & m \neq n \\ \pi, & m = n \neq 0 \end{cases}$

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \sin nx\,dx = 0, \quad \text{对所有 } m, n$

$\int_{-\pi}^{\pi} 1 \cdot \cos nx\,dx = 0, \quad \int_{-\pi}^{\pi} 1 \cdot \sin nx\,dx = 0, \quad n \geq 1$

直观理解：正交性类似于向量的垂直——两个不同的"三角向量"在积分意义下"垂直"（内积为零）。

2.2 傅里叶级数的定义

设 $f(x)$ 是以 $2\pi$ 为周期的函数，且在 $[-\pi, \pi]$ 上可积。$f(x)$ 的傅里叶级数为：

$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$

其中傅里叶系数为：

$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx$

$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nx\,dx, \quad n = 1, 2, 3, \ldots$

$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nx\,dx, \quad n = 1, 2, 3, \ldots$

符号说明：$f(x) \sim$ 表示"写出傅里叶级数"，不等于"级数收敛到 $f(x)$"。收敛性由狄利克雷定理保证。

2.3 狄利克雷收敛定理

定理：设 $f(x)$ 是以 $2\pi$ 为周期的函数，若满足：

1. $f(x)$ 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点（即左右极限都存在）
2. $f(x)$ 在一个周期内只有有限个极值点（分段单调）

则 $f(x)$ 的傅里叶级数收敛，且：

• 在 $f(x)$ 的连续点 $x_0$ 处，级数收敛到 $f(x_0)$
• 在 $f(x)$ 的间断点 $x_0$ 处，级数收敛到 $\frac{f(x_0^-) + f(x_0^+)}{2}$（左右极限的平均值）

重要提醒：狄利克雷条件是充分条件，不是必要条件。实际考试中绝大多数函数都满足该条件。

2.4 奇偶函数的傅里叶级数

函数类型	条件	傅里叶级数形式	系数特点
偶函数	$f(-x) = f(x)$	$\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos nx$（余弦级数）	$b_n = 0$
奇函数	$f(-x) = -f(x)$	$\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin nx$（正弦级数）	$a_0 = 0$，$a_n = 0$

系数简化公式（利用对称性）：

对偶函数（$b_n = 0$）：

$a_0 = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} f(x)\,dx, \quad a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} f(x)\cos nx\,dx$

对奇函数（$a_0 = 0$，$a_n = 0$）：

$b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} f(x)\sin nx\,dx$

积分区间从 $[-\pi, \pi]$ 缩短为 $[0, \pi]$，计算量减半。

2.5 周期为 $2l$ 的傅里叶级数

若 $f(x)$ 以 $2l$ 为周期（而非 $2\pi$），做变量替换 $t = \frac{\pi x}{l}$ 即可化为标准形式。

傅里叶级数：

$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos\frac{n\pi x}{l} + b_n \sin\frac{n\pi x}{l}\right)$

傅里叶系数：

$a_0 = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)\,dx$

$a_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,dx$

$b_n = \frac{1}{l}\int_{-l}^{l} f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,dx$

2.6 正弦级数与余弦级数的"延拓"思想

若 $f(x)$ 只在 $[0, \pi]$（或 $[0, l]$）上有定义，可以：

• 奇延拓：令 $F(x) = \begin{cases} f(x), & 0 < x \leq \pi \ -f(-x), & -\pi \leq x < 0 \end{cases}$，得到正弦级数
• 偶延拓：令 $F(x) = \begin{cases} f(x), & 0 \leq x \leq \pi \ f(-x), & -\pi \leq x < 0 \end{cases}$，得到余弦级数

延拓后的函数在 $[-\pi, \pi]$ 上定义，可以求傅里叶级数，再限制回 $[0, \pi]$ 即得 $f(x)$ 的展开式。

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三、记忆与理解辅助

技巧1：傅里叶系数公式记忆

$a_n$ 的公式中被积函数含 $\cos$，$b_n$ 的公式中被积函数含 $\sin$。

口诀："$a$ 对余弦，$b$ 对正弦，前面都有 $\frac{1}{\pi}$。"

$a_0$ 是特殊情况：$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx$（被积函数不含三角函数），级数中写作 $\frac{a_0}{2}$（注意除以2！）。

技巧2：奇偶函数简化记忆

	偶函数	奇函数
傅里叶级数	只有余弦项（含常数项）	只有正弦项
系数公式	$a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} f(x)\cos nx\,dx$	$b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} f(x)\sin nx\,dx$
积分区间	$[0, \pi]$（减半）	$[0, \pi]$（减半）

口诀："偶留余弦奇留正弦，积分区间都减半。"

技巧3：狄利克雷定理的"三句话"

1. 连续点 → 级数收敛到函数值
2. 间断点 → 级数收敛到左右极限的平均值
3. 端点 $x = \pm\pi$（周期延拓后的间断点）→ 收敛到 $\frac{f(-\pi^+) + f(\pi^-)}{2}$

技巧4：$2\pi$ 周期 vs $2l$ 周期公式对比

	$2\pi$ 周期	$2l$ 周期
三角函数	$\cos nx$, $\sin nx$	$\cos\frac{n\pi x}{l}$, $\sin\frac{n\pi x}{l}$
系数公式中的因子	$\frac{1}{\pi}$	$\frac{1}{l}$
积分区间	$[-\pi, \pi]$	$[-l, l]$

记忆：把 $\pi$ 换成 $l$，把 $nx$ 换成 $\frac{n\pi x}{l}$。

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四、例题与精解

例1（基础巩固）

命题意图：考查以 $2\pi$ 为周期的函数的傅里叶级数展开，以及奇偶函数的简化计算。

设 $f(x) = x$，$-\pi < x < \pi$，$f(x)$ 以 $2\pi$ 为周期。将 $f(x)$ 展开为傅里叶级数。

审题分析：$f(x) = x$ 是奇函数（在 $(-\pi, \pi)$ 上），因此 $a_0 = 0$，$a_n = 0$，只需计算 $b_n$。

解题思路：利用奇函数的性质简化计算，只需求 $b_n$。

完整步骤：

第一步：判断奇偶性

$f(x) = x$ 在 $(-\pi, \pi)$ 上是奇函数，因此：

• $a_0 = 0$
• $a_n = 0$（$n \geq 1$）
• $b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin nx\,dx$

第二步：计算 $b_n$

$b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin nx\,dx$

使用分部积分法，令 $u = x$，$dv = \sin nx\,dx$，则 $du = dx$，$v = -\frac{\cos nx}{n}$：

$\int_0^{\pi} x\sin nx\,dx = \left[-\frac{x\cos nx}{n}\right]_0^{\pi} + \frac{1}{n}\int_0^{\pi} \cos nx\,dx$

$= -\frac{\pi\cos n\pi}{n} + \frac{1}{n}\left[\frac{\sin nx}{n}\right]_0^{\pi}$

$= -\frac{\pi\cos n\pi}{n} + \frac{1}{n^2}(\sin n\pi - \sin 0)$

$= -\frac{\pi\cos n\pi}{n} + 0$

由于 $\cos n\pi = (-1)^n$：

$\int_0^{\pi} x\sin nx\,dx = -\frac{\pi(-1)^n}{n} = \frac{\pi(-1)^{n+1}}{n}$

因此：

$b_n = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi(-1)^{n+1}}{n} = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$

第三步：写出傅里叶级数

$f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin nx = 2\left(\sin x - \frac{\sin 2x}{2} + \frac{\sin 3x}{3} - \cdots\right)$

第四步：确定收敛情况

由狄利克雷定理：

• 在 $(-\pi, \pi)$ 内的连续点 $x$ 处，级数收敛到 $x$
• 在 $x = \pm\pi$ 处（间断点），级数收敛到 $\frac{f(-\pi^+) + f(\pi^-)}{2} = \frac{-\pi + \pi}{2} = 0$

因此：$x = 2\left(\sin x - \frac{\sin 2x}{2} + \frac{\sin 3x}{3} - \cdots\right)$，$x \in (-\pi, \pi)$

应用：令 $x = \frac{\pi}{2}$：

$\frac{\pi}{2} = 2\left(1 - 0 + \frac{1}{3} - 0 + \frac{1}{5} - \cdots\right) = 2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}$

即 $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}$（与 MATH-CAL-50 中的 Leibniz 公式一致）。

方法反思：奇函数的傅里叶展开只需计算 $b_n$，大幅简化计算。分部积分是计算傅里叶系数的核心技巧。

例2（中等提升）

命题意图：考查定义在有限区间上的函数展开为正弦级数或余弦级数（延拓思想）。

将 $f(x) = x$（$0 \leq x \leq \pi$）分别展开为正弦级数和余弦级数。

审题分析：$f(x)$ 只定义在 $[0, \pi]$ 上，需要分别做奇延拓和偶延拓。

解题思路：奇延拓得到正弦级数（只含 $b_n$），偶延拓得到余弦级数（只含 $a_n$）。

完整步骤：

（一）正弦级数展开（奇延拓）

将 $f(x) = x$ 奇延拓到 $[-\pi, 0)$ 上：$F(x) = -f(-x) = -(-x) = x$（对 $x \in (-\pi, 0)$，$F(x) = -(-x) = x$... 但 $f(x)=x$ 本身在 $(-\pi,\pi)$ 上就是奇函数）。

实际上 $f(x) = x$ 在 $[0,\pi]$ 上的奇延拓就是 $F(x) = x$（$x \in (-\pi, \pi)$），与例1完全相同。

$b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin nx\,dx = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$

正弦级数：

$x = 2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin nx, \quad 0 < x < \pi$

（二）余弦级数展开（偶延拓）

将 $f(x) = x$ 偶延拓到 $[-\pi, 0)$ 上：$F(x) = f(-x) = -x$（$x \in (-\pi, 0)$）。

延拓后的函数 $F(x) = |x|$（$x \in [-\pi, \pi]$），是偶函数。

$a_0 = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\,dx = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi^2}{2} = \pi$

$a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\cos nx\,dx$

分部积分，令 $u = x$，$dv = \cos nx\,dx$，则 $du = dx$，$v = \frac{\sin nx}{n}$：

$\int_0^{\pi} x\cos nx\,dx = \left[\frac{x\sin nx}{n}\right]_0^{\pi} - \frac{1}{n}\int_0^{\pi} \sin nx\,dx$

$= \frac{\pi\sin n\pi}{n} - \frac{1}{n}\left[-\frac{\cos nx}{n}\right]_0^{\pi}$

$= 0 + \frac{1}{n^2}(\cos n\pi - \cos 0) = \frac{(-1)^n - 1}{n^2}$

当 $n$ 为偶数时，$(-1)^n - 1 = 0$，$a_n = 0$。

当 $n$ 为奇数时，$(-1)^n - 1 = -2$，$a_n = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{-2}{n^2} = -\frac{4}{\pi n^2}$。

余弦级数：

$x = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\left(\cos x + \frac{\cos 3x}{3^2} + \frac{\cos 5x}{5^2} + \cdots\right), \quad 0 \leq x \leq \pi$

即：

$x = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\cos(2k+1)x}{(2k+1)^2}, \quad 0 \leq x \leq \pi$

方法反思：同一个函数在 $[0,\pi]$ 上的正弦展开和余弦展开结果完全不同（因为延拓方式不同）。正弦级数在端点 $x=0$ 和 $x=\pi$ 处收敛到 $0$（而非 $f(0)=0$ 和 $f(\pi)=\pi$），余弦级数在端点处收敛到函数值。考试时需注意题目要求哪种展开。

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五、考情分析

• 考查频次：近5年约出现2-3次，属于中频考点。
• 常见题型：解答题（求傅里叶级数展开），偶尔填空题（求某个傅里叶系数）。
• 分值占比：约4-8分。
• 命题趋势：傅里叶级数的考查相对稳定，主要考查系数计算和收敛性判断。近年来偶有将傅里叶级数与幂级数对比出题的趋势。奇偶函数的简化计算和区间 $[0, l]$ 上的展开是高频考点。

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六、易错点提醒

1. 错误表现：傅里叶级数中 $\frac{a_0}{2}$ 忘记除以2，直接写成 $a_0$。 错误原因：$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx$ 是常数项系数的2倍，级数中写作 $\frac{a_0}{2}$。 正确理解/做法：级数形式为 $\frac{a_0}{2} + \sum(a_n\cos nx + b_n\sin nx)$。$a_0$ 的定义中已经包含了 $\frac{1}{\pi}$ 的因子，但级数中需要再除以2。这是约定俗成的记法。

2. 错误表现：在间断点处错误地认为傅里叶级数收敛到 $f(x_0)$。 错误原因：忽略了狄利克雷定理中"间断点处收敛到左右极限平均值"的结论。 正确理解/做法：在 $f(x)$ 的间断点 $x_0$ 处，级数收敛到 $\frac{f(x_0^-)+f(x_0^+)}{2}$。特别是周期延拓后在 $x = \pm\pi$ 处，若 $f(-\pi^+) \neq f(\pi^-)$，则为间断点。

3. 错误表现：计算 $b_n$ 时，分部积分后 $\sin n\pi$ 和 $\cos n\pi$ 的值计算错误。 错误原因：$\sin n\pi = 0$（$n$ 为整数），$\cos n\pi = (-1)^n$，这两个基本结论在计算中频繁使用，容易出错。 正确理解/做法：牢记 $\sin n\pi = 0$，$\cos n\pi = (-1)^n$（$n=1,2,3,\ldots$）。在分部积分的结果中，含 $\sin n\pi$ 的项直接为零，含 $\cos n\pi$ 的项用 $(-1)^n$ 替换。

4. 错误表现：将定义在 $[0, \pi]$ 上的函数展开为傅里叶级数时，直接用 $[-\pi, \pi]$ 上的公式而不做延拓。 错误原因：傅里叶级数的定义要求函数在一个完整周期上有定义。$[0, \pi]$ 只是半个周期，必须先延拓。 正确理解/做法：先明确题目要求正弦展开还是余弦展开（或全傅里叶展开），再做对应的延拓。正弦展开 = 奇延拓，余弦展开 = 偶延拓。

5. 错误表现：在 $2l$ 周期的傅里叶级数中，三角函数的角频率写错（如写成 $\cos\frac{nx}{l}$ 而非 $\cos\frac{n\pi x}{l}$）。 错误原因：$2l$ 周期公式中角频率为 $\frac{n\pi}{l}$（不是 $\frac{n}{l}$），容易遗漏 $\pi$。 正确理解/做法：$2l$ 周期的三角函数为 $\cos\frac{n\pi x}{l}$ 和 $\sin\frac{n\pi x}{l}$，系数公式中积分区间为 $[-l, l]$，系数前的因子为 $\frac{1}{l}$（不是 $\frac{1}{\pi}$）。

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七、来源标注

• 依据2026考研统考大纲（数学一·高等数学·无穷级数·傅里叶级数部分）
• 依据大学本科经典教材共识（同济大学《高等数学》第七版下册）