MATH-PRO-21 协方差与相关系数

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一、定位信息

项目	内容
所属章节	第四章 随机变量的数字特征
知识单元编号	MATH-PRO-21
前置知识	MATH-PRO-19（期望）、MATH-PRO-20（方差）
后续关联	MATH-PRO-22（矩）、MATH-PRO-17（二维正态）
考试地位	高频考点，概念辨析常考
难度等级	★★★★☆

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二、知识点讲解

1. 协方差

定义：

$\boxed{\text{Cov}(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))] = E(XY) - E(X)E(Y)}$

性质：

• $\text{Cov}(X,X) = D(X)$
• $\text{Cov}(X,Y) = \text{Cov}(Y,X)$
• $\text{Cov}(aX+b, cY+d) = ac \cdot \text{Cov}(X,Y)$
• $\text{Cov}(X_1+X_2, Y) = \text{Cov}(X_1,Y) + \text{Cov}(X_2,Y)$
• $D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) \pm 2\text{Cov}(X,Y)$

2. 相关系数

定义：

$\boxed{\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}}$

性质：

• $|\rho_{XY}| \leq 1$
• $|\rho_{XY}| = 1 \iff$ $X$ 与 $Y$ 有严格的线性关系：$P(Y = aX+b) = 1$
  • $\rho = 1$：正线性相关（$a > 0$）
  • $\rho = -1$：负线性相关（$a < 0$）
• $\rho_{XY} = 0$ 称 $X$ 与 $Y$ 不相关

3. 独立与不相关的关系

条件	独立 $\Rightarrow$ 不相关	不相关 $\Rightarrow$ 独立
一般情况	✓	✗
二维正态	✓	✓

不相关的等价条件： $\rho_{XY} = 0 \iff \text{Cov}(X,Y) = 0 \iff E(XY) = E(X)E(Y) \iff D(X+Y) = D(X) + D(Y)$

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三、数字特征关系对比表

数字特征	定义	性质
$E(X)$	加权平均	线性：$E(aX+b)=aE(X)+b$
$D(X)$	偏离程度	$D(aX+b)=a^2D(X)$
$\text{Cov}(X,Y)$	联合偏离	$\text{Cov}(aX,bY)=ab\text{Cov}(X,Y)$
$\rho_{XY}$	标准化协方差	$|\rho| \leq 1$，无量纲

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四、记忆辅助

1. 协方差公式：$\text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$——"乘积的期望减期望的乘积"。
2. 相关系数：$\rho = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$——"标准化的协方差"，范围 $[-1,1]$。
3. 独立⟹不相关：$X,Y$ 独立则 $\rho=0$，但反过来不一定。
4. 不相关 = 无线性关系：$\rho=0$ 只说明没有线性关系，可能有其他函数关系。

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五、例题精解

【例题1】求协方差和相关系数

题目：设 $(X,Y)$ 的联合分布律为：$P(X=0,Y=0)=0.3$，$P(X=0,Y=1)=0.2$，$P(X=1,Y=0)=0.1$，$P(X=1,Y=1)=0.4$。求 $\text{Cov}(X,Y)$ 和 $\rho_{XY}$。

解答：

第一步：求边缘分布

$P(X=0)=0.5$，$P(X=1)=0.5$；$P(Y=0)=0.4$，$P(Y=1)=0.6$。

$E(X)=0.5$，$E(Y)=0.6$，$D(X)=0.25$，$D(Y)=0.24$。

第二步：求 $E(XY)$

$E(XY) = 0\times0\times0.3 + 0\times1\times0.2 + 1\times0\times0.1 + 1\times1\times0.4 = 0.4$

第三步：求协方差

$\text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0.4 - 0.5\times0.6 = 0.4 - 0.3 = 0.1$

第四步：求相关系数

$\rho_{XY} = \frac{0.1}{\sqrt{0.25}\sqrt{0.24}} = \frac{0.1}{0.5 \times 0.4899} = \frac{0.1}{0.2449} \approx 0.408$

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【例题2】独立与不相关的辨析

题目：设 $X \sim N(0,1)$，$Y = X^2$。判断 $X$ 与 $Y$ 是否不相关，是否独立。

解答：

第一步：求 $E(XY)$

$E(XY) = E(X \cdot X^2) = E(X^3)$

$X \sim N(0,1)$，$E(X^3) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}dx$

被积函数为奇函数（$x^3$ 为奇，$e^{-x^2/2}$ 为偶），积分 $= 0$。

第二步：求协方差

$\text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0 - 0 \cdot E(Y) = 0$

第三步：判断独立性

$\text{Cov}(X,Y) = 0$，故 $X$ 与 $Y$ 不相关。

但 $Y = X^2$ 是严格的函数关系，$X$ 与 $Y$ 不独立（知道 $X$ 就完全确定了 $Y$）。

第四步：结论

$X$ 与 $Y$ 不相关但不独立。这是一个经典的"不相关⇏独立"反例 ✓。

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六、考情分析

年份	题型	考点	分值
高频	选择题	独立与不相关的辨析	4分
高频	计算题	协方差和相关系数的求解	10分
中频	证明题	$|\rho|=1$ 的充要条件	10分

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七、易错点

1. 不相关 $\neq$ 独立（一般情况）：只有二维正态分布下两者等价。
2. $\rho=0$ 只说明无线性关系：$Y=X^2$ 中 $X,Y$ 不相关，但有严格的非线性关系。
3. $\text{Cov}(X,Y)=0$ 时 $D(X+Y)=D(X)+D(Y)$：这是不相关的一个重要等价条件。

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八、来源标注

来源	说明
教材	浙大版《概率论与数理统计》第4章 §4.3-4.4
大纲	考研数学一大纲"协方差与相关系数"