数学一

高等数学

知识单元 MATH-CAL-10：求导法则（四则运算、复合求导、链式法则）

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一、定位信息

• 圈层：核心层（大纲考点）
• 前置知识回顾：导数的定义（MATH-CAL-09）。求导法则是在导数定义基础上推导出的运算工具，用于高效计算各类函数的导数。
• 知识网络定位：本单元是导数计算的核心方法论，上承导数定义，下启隐函数求导、参数方程求导、高阶导数等。掌握求导法则是后续所有涉及导数运算内容的前提。
• 考点热度等级：H级（高频重点）。求导计算是每年必考内容，出现在选择、填空、解答题的各个环节。

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二、知识点讲解

2.1 基本初等函数的导数公式

在使用求导法则之前，必须熟记以下基本导数公式：

函数 $f(x)$	导数 $f'(x)$	函数 $f(x)$	导数 $f'(x)$
$C$	$0$	$x^n$	$nx^{n-1}$
$\sin x$	$\cos x$	$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\sec^2 x$	$\cot x$	$-\csc^2 x$
$\sec x$	$\sec x \tan x$	$\csc x$	$-\csc x \cot x$
$a^x$	$a^x \ln a$	$e^x$	$e^x$
$\log_a x$	$\frac{1}{x \ln a}$	$\ln x$	$\frac{1}{x}$
$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arccos x$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan x$	$\frac{1}{1+x^2}$	$\text{arccot}\, x$	$-\frac{1}{1+x^2}$

2.2 四则运算法则

设 $u(x)$、$v(x)$ 均可导，则：

1. 加减法：$[u(x) \pm v(x)]' = u'(x) \pm v'(x)$
2. 乘法：$[u(x) \cdot v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$
3. 除法：$\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$（$v(x) \neq 0$）

推广：乘法法则可推广到有限个函数之积：

$(u_1 u_2 \cdots u_n)' = u_1' u_2 \cdots u_n + u_1 u_2' \cdots u_n + \cdots + u_1 u_2 \cdots u_n'$

2.3 复合函数求导（链式法则）

定理：设 $y = f(u)$，$u = g(x)$，若 $g(x)$ 在 $x$ 处可导，$f(u)$ 在对应点 $u = g(x)$ 处可导，则复合函数 $y = f[g(x)]$ 在 $x$ 处可导，且

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = f'(u) \cdot g'(x) = f'[g(x)] \cdot g'(x)$

直观解释：链式法则反映的是"变化率的链式传递"。$y$ 对 $x$ 的变化率等于 $y$ 对中间变量 $u$ 的变化率乘以 $u$ 对 $x$ 的变化率。

证明思路：设 $\Delta x \neq 0$，令 $\Delta u = g(x+\Delta x) - g(x)$。由于 $g$ 可导故连续，$\Delta x \to 0$ 时 $\Delta u \to 0$。

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}$

取极限 $\Delta x \to 0$，注意当 $\Delta u = 0$ 时需要单独处理（此时 $\Delta y = 0$，补充定义即可），最终得到 $\frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot g'(x)$。

使用要点：

• 链式法则可推广到多层复合：$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$
• 求导时"由外向内逐层求导再相乘"，像剥洋葱一样

2.4 幂指函数的求导

对于 $y = [u(x)]^{v(x)}$（幂指函数），不能直接用幂函数或指数函数的求导公式。两种处理方法：

方法一：对数求导法

取对数：$\ln y = v(x) \ln u(x)$

两边对 $x$ 求导：$\frac{y'}{y} = v'(x) \ln u(x) + v(x) \cdot \frac{u'(x)}{u(x)}$

故 $y' = [u(x)]^{v(x)} \left[v'(x) \ln u(x) + \frac{v(x) u'(x)}{u(x)}\right]$

方法二：化为指数函数

$y = e^{v(x) \ln u(x)}$，然后用链式法则求导。

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三、记忆与理解辅助

技巧1：求导法则的"运算层次"口诀

"加减直接算，乘积交叉加，除法下平方，复合逐层乘"。

技巧2：链式法则的"由外到内"思维

求复合函数导数时，识别层次结构：

$y = f(\underbrace{g(\underbrace{h(x)}_{\text{最内层}})}_{\text{中间层}})$

求导顺序：先对外层求导，保持内层不变，再乘以内层的导数，逐层展开。

技巧3：各求导方法适用范围对比

方法	适用对象	关键操作	注意事项
四则运算法则	和、差、积、商	直接套公式	除法要求分母不为零
链式法则	复合函数	逐层求导相乘	必须识别出所有复合层次
对数求导法	幂指函数、连乘/连除	两边取对数再求导	结果含 $y$ 本身需回代
隐函数求导	隐函数	两边对 $x$ 求导（见MATH-CAL-11）	$y$ 是 $x$ 的函数

技巧4：$(uv)' \neq u'v'$

乘法求导不是分别求导再相乘！正确公式是 $(uv)' = u'v + uv'$，即"前导后不导 + 前不导后导"。

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四、例题与精解

例题1（基础巩固）

命题意图：考查复合函数求导的链式法则。

题目：求 $y = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$ 的导数。

审题分析：这是一个三层复合函数：$y = \ln u$，$u = x + \sqrt{x^2+1}$，其中 $\sqrt{x^2+1}$ 本身又是复合函数。

解题思路：由外向内逐层使用链式法则。

完整步骤：

$y' = \frac{1}{x + \sqrt{x^2+1}} \cdot \left(x + \sqrt{x^2+1}\right)'$

先求 $\left(\sqrt{x^2+1}\right)'$：

$\left(\sqrt{x^2+1}\right)' = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)' = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

所以：

$\left(x + \sqrt{x^2+1}\right)' = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{\sqrt{x^2+1} + x}{\sqrt{x^2+1}}$

代入得：

$y' = \frac{1}{x + \sqrt{x^2+1}} \cdot \frac{x + \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

方法反思：复合函数求导的关键是正确识别复合层次，由外向内逐层展开。注意不要遗漏任何一层。

例题2（中等提升）

命题意图：考查幂指函数的求导（对数求导法）。

题目：设 $y = x^{\sin x}$（$x > 0$），求 $y'$。

审题分析：这是幂指函数 $u(x)^{v(x)}$ 的形式，底数和指数都含 $x$，不能直接用幂函数或指数函数公式。

解题思路：使用对数求导法。

完整步骤：

第一步：两边取自然对数

$\ln y = \sin x \cdot \ln x$

第二步：两边对 $x$ 求导（注意 $y$ 是 $x$ 的函数，左边用链式法则）

$\frac{1}{y} \cdot y' = \cos x \cdot \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x}$

第三步：解出 $y'$ 并回代

$y' = y \left(\cos x \cdot \ln x + \frac{\sin x}{x}\right) = x^{\sin x}\left(\cos x \cdot \ln x + \frac{\sin x}{x}\right)$

方法反思：对数求导法适用于两类问题：①幂指函数 $u^v$；②多个因子相乘或相除的函数。取对数后将乘除变为加减，大大简化求导过程。

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五、考情分析

• 考查频次：近5年每年必考，是求导运算的基础，贯穿于选择、填空和解答题中。
• 常见题型：填空题（直接求导）、选择题（判断导数表达式正误）、解答题中的中间步骤。
• 分值占比：直接考查约3–5分，但几乎所有涉及导数的题目都依赖求导法则，间接分值极高。
• 命题趋势：近年来更注重复合函数求导的灵活性，常与隐函数求导、参数方程求导结合。基于大纲与命题规律推测。

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六、易错点提醒

易错点1

• 错误表现：复合函数求导时遗漏某一层，如对 $e^{\sin(2x)}$ 只求到 $e^{\sin(2x)} \cdot \cos(2x)$，漏掉对 $2x$ 求导。
• 错误原因：没有识别出三层复合结构（指数→三角函数→线性函数）。
• 正确做法：$[e^{\sin(2x)}]' = e^{\sin(2x)} \cdot \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x) \cdot e^{\sin(2x)}$。

易错点2

• 错误表现：对乘法求导误用为 $(uv)' = u'v'$。
• 错误原因：将乘法求导与加法求导混淆。
• 正确做法：牢记 $(uv)' = u'v + uv'$，可以用"前导后不导 + 前不导后导"的口诀记忆。

易错点3

• 错误表现：对 $a^x$ 求导得 $xa^{x-1}$（误用幂函数公式）。
• 错误原因：混淆幂函数 $x^a$ 和指数函数 $a^x$ 的求导公式。
• 正确做法：$(a^x)' = a^x \ln a$，$(x^a)' = ax^{a-1}$。区分"底数含变量"和"指数含变量"。

易错点4

• 错误表现：对数求导法最后忘记回代 $y$。
• 错误原因：从 $\frac{y'}{y} = \cdots$ 解出 $y'$ 时需要乘以 $y$。
• 正确做法：$y' = y \cdot (\cdots)$，最后必须把 $y$ 用原函数表达式替换。

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七、来源标注

• 依据2026考研统考大纲（数学一·高等数学·一元函数微分学部分）
• 依据大学本科经典教材共识（同济大学《高等数学》第七版）