MATH-PRO-18 两个随机变量函数的分布

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一、定位信息

项目	内容
所属章节	第三章 多维随机变量及其分布
知识单元编号	MATH-PRO-18
前置知识	MATH-PRO-14~17
后续关联	MATH-PRO-19~22（数字特征）
考试地位	第三章压轴，解答题高频
难度等级	★★★★★

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二、知识点讲解

1. 问题描述

设 $(X,Y)$ 的联合分布已知，$Z = g(X,Y)$，求 $Z$ 的分布。

2. 离散型：列表法

列出 $(X,Y)$ 的所有取值 $(x_i, y_j)$，计算 $Z = g(x_i, y_j)$，合并相同值的概率。

3. 连续型：分布函数法

步骤：

1. $F_Z(z) = P(Z \leq z) = P(g(X,Y) \leq z)$
2. $= \iint_{g(x,y) \leq z} f(x,y)\,dx\,dy$
3. $f_Z(z) = F_Z'(z)$

4. 重要公式：$Z = X + Y$ 的分布

卷积公式：

$\boxed{f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, z-x)\,dx = \int_{-\infty}^{+\infty} f(z-y, y)\,dy}$

独立情形（简化）：

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) f_Y(z-x)\,dx$

5. 常见函数的分布结果

$Z = g(X,Y)$	条件	结果
$Z = X + Y$	$X,Y$ 独立	卷积公式
$Z = \max(X,Y)$	$X,Y$ 独立	$F_Z(z) = F_X(z)F_Y(z)$
$Z = \min(X,Y)$	$X,Y$ 独立	$1-F_Z(z) = (1-F_X(z))(1-F_Y(z))$
$Z = X/Y$	—	特殊积分
$Z = X^2 + Y^2$	$X,Y$ 独立标准正态	$\chi^2(2)$（指数分布）

6. 最大值和最小值的分布

设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 独立，分布函数分别为 $F_1, F_2, \ldots, F_n$。

$F_{\max}(z) = P(\max X_i \leq z) = \prod_{i=1}^n F_i(z)$

$F_{\min}(z) = P(\min X_i \leq z) = 1 - \prod_{i=1}^n (1 - F_i(z))$

同分布特例：$F_i = F$ 时，$F_{\max}(z) = [F(z)]^n$，$F_{\min}(z) = 1 - [1-F(z)]^n$。

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三、记忆辅助

1. 卷积公式：$f_{X+Y}(z) = \int f_X(x)f_Y(z-x)dx$——"$X$ 取 $x$，$Y$ 取 $z-x$，加起来就是 $z$"。
2. 最大值分布：$F_{\max} = F_1 F_2 \cdots F_n$——"最大值$\leq z$ 等价于每个都$\leq z$"。
3. 最小值分布：$1-F_{\min} = (1-F_1)(1-F_2)\cdots(1-F_n)$——"最小值$> z$ 等价于每个都$> z$"。
4. 分布函数法万能：遇到不会的 $g(X,Y)$，先写分布函数再求导。

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四、例题精解

【例题1】$Z = X + Y$（卷积公式）

题目：设 $X \sim U(0,1)$，$Y \sim U(0,1)$，$X,Y$ 独立。求 $Z = X+Y$ 的密度。

解答：

第一步：写出边缘密度

$f_X(x) = 1$（$0 < x < 1$），$f_Y(y) = 1$（$0 < y < 1$）。

第二步：用卷积公式

$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x)f_Y(z-x)\,dx$

$f_X(x) \neq 0$ 要求 $0 < x < 1$；$f_Y(z-x) \neq 0$ 要求 $0 < z-x < 1$，即 $z-1 < x < z$。

第三步：确定积分限

• 当 $0 < z < 1$ 时：$\max(0, z-1) = 0$，$\min(1, z) = z$，积分限 $[0, z]$$f_Z(z) = \int_0^z 1\,dx = z$

• 当 $1 \leq z < 2$ 时：$\max(0, z-1) = z-1$，$\min(1, z) = 1$，积分限 $[z-1, 1]$$f_Z(z) = \int_{z-1}^1 1\,dx = 2-z$

• 其他：$f_Z(z) = 0$

第四步：写出密度

$f_Z(z) = \begin{cases} z, & 0 < z < 1 \\ 2-z, & 1 \leq z < 2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

验证：$\int_0^1 z\,dz + \int_1^2 (2-z)\,dz = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ ✓（这是三角分布）

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【例题2】最大值最小值分布

题目：设 $X_1, X_2$ 独立同分布，$X_i \sim E(\lambda)$。求 $M = \max(X_1, X_2)$ 的分布函数和密度。

解答：

第一步：写出 $X_i$ 的分布函数

$F(x) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda x}, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases}$

第二步：求 $M$ 的分布函数

$F_M(z) = [F(z)]^2 = (1-e^{-\lambda z})^2, \quad z > 0$

第三步：求密度

$f_M(z) = F_M'(z) = 2(1-e^{-\lambda z}) \cdot \lambda e^{-\lambda z} = 2\lambda e^{-\lambda z}(1-e^{-\lambda z}), \quad z > 0$

第四步：验证

$\int_0^{+\infty} f_M(z)\,dz = (1-e^{-\lambda z})^2\Big|_0^{+\infty} = 1 - 0 = 1$ ✓

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五、考情分析

年份	题型	考点	分值
高频	解答题	$Z=X+Y$ 的卷积公式	10-12分
中频	计算	最大值/最小值分布	10分
中频	综合	正态分布的线性组合	10分

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六、易错点

1. 卷积公式的积分限：必须同时满足 $f_X(x) \neq 0$ 和 $f_Y(z-x) \neq 0$，取交集。
2. 最大值分布公式：$F_{\max} = \prod F_i$，是分布函数的乘积，不是密度的乘积。
3. $X+Y$ 的分布：独立正态之和仍为正态；独立均匀之和为三角分布，不是均匀。

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七、来源标注

来源	说明
教材	浙大版《概率论与数理统计》第3章 §3.5-3.6
大纲	考研数学一大纲"两个随机变量函数的分布"