数学一

线性代数

向量组的秩与极大线性无关组

定位信息

• 章节：第三章 向量 §3.3
• 编号：MATH-LIN-11
• 难度：★★★☆☆
• 近5年考频：高频考点，每年涉及

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一、知识点讲解

11.1 向量组的秩

定义：向量组 $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$ 的极大线性无关组所含向量的个数称为该向量组的秩，记 $r(\alpha_1, \ldots, \alpha_s)$。

11.2 极大线性无关组

定义：在向量组 $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$ 中，若部分组 $\alpha_{i_1}, \ldots, \alpha_{i_r}$ 满足：

1. $\alpha_{i_1}, \ldots, \alpha_{i_r}$ 线性无关
2. 向量组中任意向量都可由 $\alpha_{i_1}, \ldots, \alpha_{i_r}$ 线性表示

则称 $\alpha_{i_1}, \ldots, \alpha_{i_r}$ 为该向量组的一个极大线性无关组。

注意：极大线性无关组一般不唯一（除非向量组本身线性无关），但所含向量个数（秩）唯一。

11.3 极大线性无关组的求法

1. 将向量组按列排成矩阵 $A = (\alpha_1, \ldots, \alpha_s)$
2. 对 $A$ 做初等行变换化为行阶梯形
3. 行阶梯形中的主元所在列对应的原向量构成一个极大线性无关组

11.4 向量组秩与矩阵秩的关系

定理：矩阵的行秩 $=$ 列秩 $=$ 矩阵的秩。

• 行秩：行向量组的秩
• 列秩：列向量组的秩
• $r(A_{m \times n}) =$ 行秩 $=$ 列秩

11.5 向量组秩的性质

性质	说明
$r(\alpha_1, \ldots, \alpha_s) \le s$	秩不超过向量个数
$r(\alpha_1, \ldots, \alpha_s) \le n$	秩不超过向量维数
线性无关 $\Leftrightarrow$ $r = s$	满秩即无关
线性相关 $\Leftrightarrow$ $r < s$	不满秩即相关
若 $A$ 组可由 $B$ 组表示	$r(A) \le r(B)$
等价向量组	秩相等（反之不一定）

11.6 向量组等价的判定

$A \cong B$ $\Leftrightarrow$ $r(A) = r(B)$ 且 $A$ 可由 $B$ 表示（或 $B$ 可由 $A$ 表示）

注意：秩相等 $\not\Rightarrow$ 等价。等价还需满足互相表示的条件。

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二、记忆辅助

1. 极大无关组的"极大"含义：不能再加入任何向量而保持无关 —— "加一个就相关"
2. 求极大无关组的方法：行变换找主元列 —— "主元列对应回原列"
3. 矩阵秩 = 行秩 = 列秩：三种秩统一，记住这一个等式就够了

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三、例题精解

例1：求极大线性无关组

题目：设 $\alpha_1 = (1,2,3)^T$，$\alpha_2 = (2,3,5)^T$，$\alpha_3 = (3,4,7)^T$，$\alpha_4 = (1,1,2)^T$。求一个极大线性无关组，并用其表示其余向量。

第一步：审题与分析 4个3维向量，秩最多为3。将它们排成矩阵做行变换。

第二步：选择方法 行变换法。

第三步：完整计算

$A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 5 & 7 & 2 \end{pmatrix}$

$r_2 - 2r_1, r_3 - 3r_1$：

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & -2 & -1 \end{pmatrix}$

$r_3 - r_2$：

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & -1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$r = 2$，主元在第1列和第2列，所以 $\alpha_1, \alpha_2$ 是一个极大线性无关组。

继续化为行最简形，$r_2 \times (-1)$：

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$r_1 - 2r_2$：

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

从行最简形读出：

• $\alpha_3 = -\alpha_1 + 2\alpha_2$
• $\alpha_4 = -\alpha_1 + \alpha_2$

第四步：验证与总结$\boxed{\text{极大线性无关组：}\alpha_1, \alpha_2}$。$\alpha_3 = -\alpha_1 + 2\alpha_2$，$\alpha_4 = -\alpha_1 + \alpha_2$。

验证：$-\alpha_1 + 2\alpha_2 = -(1,2,3)^T + 2(2,3,5)^T = (3,4,7)^T = \alpha_3$ ✓

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例2：向量组秩的比较

题目：设向量组 $A: \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 可由向量组 $B: \beta_1, \beta_2$ 线性表示，证明 $r(A) \le 2$。

第一步：审题与分析$A$ 有3个向量可由 $B$ 的2个向量表示，需要证明 $r(A) \le 2$。

第二步：选择方法 利用"若 $A$ 组可由 $B$ 组表示，则 $r(A) \le r(B)$"。

第三步：完整计算

因为 $A$ 中每个向量都可由 $B$ 线性表示，即

$\alpha_i = c_{i1}\beta_1 + c_{i2}\beta_2, \quad i = 1,2,3$

写成矩阵形式：$(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = (\beta_1, \beta_2)C$，其中 $C = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{21} & c_{31} \ c_{12} & c_{22} & c_{32} \end{pmatrix}$。

由 $r(AB) \le \min(r(A), r(B))$：

$r(A) = r((\beta_1, \beta_2)C) \le r(\beta_1, \beta_2) \le 2$

第四步：验证与总结$\boxed{r(A) \le 2}$。推论：若 $s$ 个向量可由 $t$ 个向量线性表示且 $s > t$，则这 $s$ 个向量必线性相关。

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四、考情分析

• 题型分布：解答题（求极大无关组并用其表示其余向量）、选择题（秩的性质判断）
• 考查重点：极大线性无关组的求法、秩的性质与不等式
• 命题趋势：求极大无关组是几乎每年必考的解答题
• 分值占比：约5-8分

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五、易错点

1. 极大无关组不唯一：不同的选取方式可能得到不同的极大无关组，但秩（所含向量个数）一定相同
2. 行变换后对应回原列：行变换后的矩阵中主元所在列号对应的是原矩阵的列号，即原向量组中对应位置的向量
3. 秩相等 ≠ 等价：两个向量组秩相等不能推出等价，还需要互相线性表示
4. 行秩 = 列秩 = 矩阵的秩：不要混淆行秩和列秩，它们是相等的

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六、来源标注

• 同济大学《线性代数》第6版 第3章 §3.3-§3.4
• 李永乐《线性代数辅导讲义》第3章
• 张宇《考研数学线性代数9讲》第5讲