数学一

线性代数

行列式的概念与性质

定位信息

• 章节：第一章 行列式 §1.1
• 编号：MATH-LIN-01
• 难度：★★☆☆☆
• 近5年考频：直接命题约2次，间接应用几乎每年

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一、知识点讲解

1.1 行列式的定义

二阶行列式：对二阶方阵 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$，其行列式定义为

$|A| = \det(A) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$

三阶行列式：对三阶方阵，按"对角线法则"（Sarrus法则）展开：

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}$

n阶行列式（归纳定义）：设 $n-1$ 阶行列式已定义，则 $n$ 阶行列式

$|A| = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j} = \sum_{j=1}^{n} a_{1j} A_{1j}$

其中 $M_{ij}$ 是元素 $a_{ij}$ 的余子式（划去第 $i$ 行第 $j$ 列后所得 $n-1$ 阶行列式），$A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ 是代数余子式。

等价定义（逆序数法）：$|A| = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}$，其中 $\text{sgn}(\sigma)$ 为排列 $\sigma$ 的逆序数的奇偶性。

1.2 行列式的性质

性质1 转置不变：$|A^T| = |A|$。

性质2 行（列）互换变号：交换两行（列），行列式变号。

推论：若行列式有两行（列）相同，则行列式为零。

性质3 行（列）的公因子可提：

$\begin{vmatrix} \vdots \\ k \cdot a_{i1} & \cdots & k \cdot a_{in} \\ \vdots \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{in} \\ \vdots \end{vmatrix}$

性质4 行（列）拆分：某行（列）元素为两数之和时，可拆为两个行列式之和。

性质5 倍加不变：将某行（列）的 $k$ 倍加到另一行（列），行列式不变。这是计算中最常用的操作。

性质6 按行（列）展开：

$|A| = \sum_{j=1}^n a_{ij} A_{ij} \quad (\text{按第}i\text{行展开})$

$|A| = \sum_{i=1}^n a_{ij} A_{ij} \quad (\text{按第}j\text{列展开})$

异乘变零：$\sum_{j=1}^n a_{kj} A_{ij} = 0$（$k \neq i$），即某行元素乘以另一行的代数余子式之和为零。

1.3 特殊行列式

类型	形式	结果
上（下）三角行列式	主对角线以下（上）全为零	$\prod_{i=1}^n a_{ii}$
对角行列式	仅主对角线非零	$\prod_{i=1}^n a_{ii}$
副对角行列式	仅副对角线非零	$(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \prod_{i=1}^n a_{i,n+1-i}$
范德蒙德行列式	$V_n = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \ \vdots & \vdots & & \vdots \ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix}$	$\prod_{1 \le j < i \le n}(x_i - x_j)$

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二、记忆辅助

1. "转置不变、互换变号、公因子可提、倍加不变" —— 四大性质口诀："转、换、提、加"
2. 代数余子式符号：$(-1)^{i+j}$ 呈棋盘格分布，$(1,1)$ 位置为正，交替排列
3. 范德蒙德行列式：记忆"下标大的减下标小的"，即 $\prod_{j<i}(x_i - x_j)$，总共有 $C_n^2$ 个因子
4. 异乘变零：同行展开得 $|A|$，异行展开得 $0$ —— "同行非零，异行归零"

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三、例题精解

例1：利用行列式性质计算

题目：计算 $D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}$

第一步：审题与分析 观察各行之间的关系，第2行 = 第1行 + 3，第3行 = 第1行 + 6，各行成等差关系，猜测行列式可能为零。

第二步：选择方法 利用性质5（倍加变换）化简，使某行（列）出现大量零元素。

第三步：完整计算$r_2 - r_1: \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}$

$r_3 - r_1: \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 6 & 6 & 6 \end{vmatrix}$

第3行提取公因子6：$6 \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 3 & 3 & 3 \ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

第2行提取公因子3：$18 \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

第2、3行相同，行列式 $= 18 \times 0 = 0$。

第四步：验证与总结$\boxed{D = 0}$。本题关键观察：三行成等差 $\Rightarrow$ 线性相关 $\Rightarrow$ 行列式为零。

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例2：范德蒙德行列式的应用

题目：计算 $D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \ a & b & c & d \ a^2 & b^2 & c^2 & d^2 \ a^3 & b^3 & c^3 & d^3 \end{vmatrix}$

第一步：审题与分析 这是一个4阶范德蒙德行列式，$x_1 = a, x_2 = b, x_3 = c, x_4 = d$。

第二步：选择方法 直接套用范德蒙德行列式公式。

第三步：完整计算$D = \prod_{1 \le j < i \le 4}(x_i - x_j)$

展开所有因子（$C_4^2 = 6$ 个）： $D = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)$

第四步：验证与总结$\boxed{D = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)}$

验证：当 $a=b$ 时，第1、2列相同，$D=0$，与公式一致。✓

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例3：按行展开计算

题目：计算 $D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \ 3 & 4 & 0 & 0 \ 5 & 6 & 7 & 8 \ 9 & 10 & 11 & 12 \end{vmatrix}$

第一步：审题与分析 左上角为 $2 \times 2$ 分块，右下角也是 $2 \times 2$ 分块，右上角为零。这是准三角形式。

第二步：选择方法 按前两行展开，或直接利用分块三角行列式公式。

第三步：完整计算 由于右上角 $2 \times 2$ 子块为零矩阵，此为准上三角分块矩阵：

$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} 7 & 8 \\ 11 & 12 \end{vmatrix}$

$= (1 \times 4 - 2 \times 3)(7 \times 12 - 8 \times 11)$

$= (4 - 6)(84 - 88) = (-2)(-4) = 8$

第四步：验证与总结$\boxed{D = 8}$。分块三角行列式 = 对角块行列式的乘积，这是简化高阶行列式计算的重要技巧。

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四、考情分析

• 题型分布：选择题（判断行列式值、性质判断）、填空题（特殊行列式计算）、解答题（作为其他章节的前置工具）
• 考查重点：行列式性质的灵活运用、特殊行列式的识别与计算
• 命题趋势：近年直接考行列式计算的频率降低，但作为特征值、方程组等章节的基础工具，几乎每年必用
• 分值占比：直接考查约3-4分，间接应用约占线性代数总分的15-20%

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五、易错点

1. 代数余子式符号遗漏：$A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$，忘记 $(-1)^{i+j}$ 是最常见错误，尤其是 $i+j$ 为奇数时符号为负
2. 倍加变换与互换混淆：性质5"倍加不变"不等于"倍乘不变"——将某行乘以 $k$（性质3）会改变行列式值，而将某行的 $k$ 倍加到另一行（性质5）不改变
3. 范德蒙德行列式因子顺序：公式为 $\prod_{j<i}(x_i - x_j)$，是"后减前"，不能写反。若写成"前减后"需加符号 $(-1)^{C_n^2}$
4. 分块行列式适用条件：只有左上或右下为零块的三角分块才能直接乘，一般分块（四个子块都不为零）不能直接求行列式

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六、来源标注

• 同济大学《线性代数》第6版 第1章 §1.1-§1.3
• 李永乐《线性代数辅导讲义》第1章
• 张宇《考研数学线性代数9讲》第1讲