数学一

高等数学

知识单元 MATH-CAL-47：常数项级数的概念与收敛判别法

---

一、定位信息

• 圈层：核心层（大纲考点）
• 前置知识回顾：数列极限的定义与计算、部分和的概念、等比级数的求和公式、正项数列的单调有界定理。需要熟练掌握极限的 $\varepsilon$-$N$ 语言和基本极限计算技巧。
• 知识网络定位：本单元是无穷级数的起始章节，上承数列极限理论，下启交错级数、幂级数与傅里叶级数。收敛判别法是整个级数理论的核心工具，贯穿后续所有内容。
• 考点热度等级：H级（高频重点）。级数收敛性的判别几乎每年必考，常以选择题或填空题形式出现，分值4-5分。

---

二、知识点讲解

2.1 常数项级数的基本概念

定义：给定数列 $\{u_n\}$，表达式

$\sum_{n=1}^{\infty} u_n = u_1 + u_2 + u_3 + \cdots$

称为（常数项）无穷级数，$u_n$ 称为通项。

部分和：$S_n = u_1 + u_2 + \cdots + u_n = \sum_{k=1}^{n} u_k$，称为级数的第 $n$ 个部分和。

收敛与发散：若部分和数列 $\{S_n\}$ 的极限存在，即 $\lim_{n\to\infty} S_n = S$（有限值），则称级数收敛，$S$ 称为级数的和，记作 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n = S$。若 $\{S_n\}$ 极限不存在，则称级数发散。

收敛的必要条件：若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则 $\lim_{n\to\infty} u_n = 0$。

证明思路：$u_n = S_n - S_{n-1}$，当 $n\to\infty$ 时，$S_n \to S$，$S_{n-1} \to S$，故 $u_n \to 0$。

重要提醒：$\lim_{n\to\infty} u_n = 0$ 是级数收敛的必要条件而非充分条件。经典反例：调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散，但 $\frac{1}{n} \to 0$。

2.2 基本级数

级数	形式	收敛性	备注
几何级数	$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$	$|r|<1$ 时收敛，$|r|\geq 1$ 时发散	和为 $\frac{a}{1-r}$
调和级数	$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$	发散	通项趋于零但发散
$p$-级数	$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$	$p>1$ 收敛，$p\leq 1$ 发散	$p=1$ 即调和级数
交错调和级数	$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}$	收敛	和为 $\ln 2$

2.3 正项级数的判别法

正项级数：若 $u_n \geq 0$ 对所有 $n$ 成立，则 $\sum u_n$ 为正项级数。正项级数的部分和数列 $\{S_n\}$ 单调递增，因此正项级数收敛 $\Leftrightarrow$ $\{S_n\}$ 有上界。

2.3.1 比较判别法

定理：设 $\sum u_n$ 和 $\sum v_n$ 都是正项级数，且存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时 $u_n \leq v_n$，则：

• 若 $\sum v_n$ 收敛，则 $\sum u_n$ 收敛
• 若 $\sum u_n$ 发散，则 $\sum v_n$ 发散

证明思路：$u_n \leq v_n$ 意味着 $\sum u_n$ 的部分和有上界 $\sum v_n$ 的部分和，利用单调有界定理即可。

极限形式（更常用）：设 $\lim_{n\to\infty} \frac{u_n}{v_n} = l$（$v_n > 0$），

• 若 $0 < l < +\infty$，则 $\sum u_n$ 与 $\sum v_n$ 同敛散
• 若 $l = 0$，则 $\sum v_n$ 收敛 $\Rightarrow$ $\sum u_n$ 收敛
• 若 $l = +\infty$，则 $\sum v_n$ 发散 $\Rightarrow$ $\sum u_n$ 发散

2.3.2 比值判别法（达朗贝尔判别法）

定理：设 $\sum u_n$ 为正项级数，$\lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \rho$，则：

• $\rho < 1$ 时，级数收敛
• $\rho > 1$ 时，级数发散
• $\rho = 1$ 时，判别法失效

适用场景：通项含阶乘、幂次、指数函数时特别有效，如 $\sum \frac{n!}{n^n}$、$\sum \frac{x^n}{n!}$ 等。

2.3.3 根值判别法（柯西判别法）

定理：设 $\sum u_n$ 为正项级数，$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{u_n} = \rho$，则：

• $\rho < 1$ 时，级数收敛
• $\rho > 1$ 时，级数发散
• $\rho = 1$ 时，判别法失效

适用场景：通项为 $n$ 次幂形式时特别有效，如 $\sum \left(\frac{n}{2n+1}\right)^n$。

2.3.4 积分判别法

定理：设 $f(x)$ 在 $[1, +\infty)$ 上连续、正值、单调递减，且 $f(n) = u_n$，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\int_1^{+\infty} f(x)\,dx$ 同敛散。

适用场景：通项可与连续函数对应时，如 $p$-级数的敛散性证明。

2.4 正项级数判别法对比

判别法	计算对象	收敛条件	发散条件	失效条件	最佳适用场景
比较法	$\frac{u_n}{v_n}$ 的极限	$l=0$ 且 $\sum v_n$ 收敛	$l=+\infty$ 且 $\sum v_n$ 发散	需要已知比较对象	可找到合适比较对象时
比值法	$\frac{u_{n+1}}{u_n}$	$\rho<1$	$\rho>1$	$\rho=1$	含阶乘、幂次
根值法	$\sqrt[n]{u_n}$	$\rho<1$	$\rho>1$	$\rho=1$	含 $n$ 次幂
积分法	$\int_1^{+\infty}f(x)dx$	积分收敛	积分发散	积分难算	通项可连续化

---

三、记忆与理解辅助

技巧1：正项级数判别法选择口诀

"阶乘幂比值，$n$ 次幂根值，能积分用积分，不能判用比较。"

遇到含 $n!$ 或 $a^n$ 的通项，优先用比值法；遇到 $u_n = [\varphi(n)]^n$ 形式，优先用根值法；遇到 $u_n = f(n)$ 且 $f$ 好积分，用积分判别法；以上都不行，找一个已知敛散性的级数做比较。

技巧2：比值法与根值法的极限关系

若 $\lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}$ 存在，则 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{u_n}$ 也存在且二者相等。因此比值法能判别的，根值法也能判别；但根值法适用范围更广（比值极限不存在时根值极限仍可能存在）。

技巧3：调和级数发散的直观记忆

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right) + \cdots > 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots$

每组括号内的和 $> \frac{1}{2}$，共有无穷多组，故发散。这是"分组放缩法"的经典应用。

技巧4：$p$-级数的临界值记忆

$p$-级数 $\sum \frac{1}{n^p}$ 的临界值是 $p=1$（调和级数，发散）。$p>1$ 收敛，$p\leq 1$ 发散。可类比反常积分 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p}dx$ 的敛散性（积分判别法的直接应用）。

---

四、例题与精解

例1（基础巩固）

命题意图：考查比值判别法的基本应用。

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}$ 的敛散性。

审题分析：通项 $u_n = \frac{n!}{n^n}$ 含有阶乘，优先考虑比值判别法。

解题思路：计算 $\lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n}$，与1比较。

完整步骤：

$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \frac{(n+1) \cdot n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^n$

$= \left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}}\right)^n = \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}$

当 $n\to\infty$ 时，$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to e$，因此：

$\lim_{n\to\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{1}{e} < 1$

由比值判别法，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}$ 收敛。

方法反思：含 $n!$ 的通项用比值法最方便，核心技巧是将 $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ 化简为含 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ 的形式，利用其极限为 $e$。

例2（中等提升）

命题意图：考查比较判别法的灵活运用，以及判别法失效时的处理。

判断级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^p}$（$p > 0$）的敛散性。

审题分析：通项含 $\ln n$，比值法和根值法都难以化简。考虑积分判别法或与已知级数比较。

解题思路：使用积分判别法，将级数转化为反常积分。

完整步骤：

第一步：设 $f(x) = \frac{1}{x(\ln x)^p}$，$x \geq 2$。验证 $f(x)$ 满足积分判别法条件：

• $f(x) > 0$ ✓
• $f(x)$ 连续 ✓
• $f'(x) = -\frac{(\ln x)^p + p(\ln x)^{p-1}}{x^2(\ln x)^{2p}} < 0$，单调递减 ✓

第二步：计算反常积分

$\int_2^{+\infty} \frac{1}{x(\ln x)^p}\,dx = \int_2^{+\infty} \frac{1}{(\ln x)^p}\,d(\ln x)$

令 $t = \ln x$，当 $x=2$ 时 $t=\ln 2$，$x\to+\infty$ 时 $t\to+\infty$：

$= \int_{\ln 2}^{+\infty} \frac{1}{t^p}\,dt$

第三步：判断 $\int_{\ln 2}^{+\infty} \frac{1}{t^p}\,dt$ 的敛散性

这是标准的 $p$-积分：

• 当 $p > 1$ 时，积分收敛
• 当 $p \leq 1$ 时，积分发散

第四步：由积分判别法，$\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^p}$：

• 当 $p > 1$ 时，收敛
• 当 $p \leq 1$ 时，发散

方法反思：当通项含 $\ln n$ 且比值法、根值法失效时，积分判别法是首选。关键步骤是换元将积分化为标准 $p$-积分的形式。此题也说明：$\frac{1}{n\ln n}$ 发散（比调和级数衰减得更慢但仍然发散）。

---

五、考情分析

• 考查频次：近5年每年至少出现1次，多为选择题或填空题。
• 常见题型：选择题（判断敛散性）、填空题（求收敛半径等后续内容的铺垫）。
• 分值占比：直接考查约4分，作为级数章节的起点，后续幂级数等也依赖本单元知识。
• 命题趋势：正项级数判别法是高频考点，尤其是比值法和比较法的灵活运用。近年来有增加判别法综合运用的趋势（如需要先用一种方法判断，失败后再换另一种）。

---

六、易错点提醒

1. 错误表现：误认为 $\lim_{n\to\infty} u_n = 0$ 就能推出级数收敛。 错误原因：混淆了必要条件和充分条件。 正确理解/做法：$\lim_{n\to\infty} u_n = 0$ 只是级数收敛的必要条件，不是充分条件。调和级数是经典反例。判断敛散性必须用判别法。

2. 错误表现：比值法中 $\rho = 1$ 时错误地得出结论（如认为 $\rho=1$ 时级数收敛）。 错误原因：$\rho=1$ 是比值法的"盲区"，此时级数可能收敛也可能发散。 正确理解/做法：$\rho=1$ 时比值法失效，必须换用其他判别法。例如 $p$-级数在所有 $p$ 值下比值极限都是1，但敛散性随 $p$ 不同而不同。

3. 错误表现：使用比较判别法时，找到的比较级数方向搞反（用收敛级数去比较一个更大的级数）。 错误原因：比较判别法的核心逻辑是"小的发散则大的发散，大的收敛则小的收敛"，方向容易搞混。 正确理解/做法：记住口诀"大收敛推小收敛，小发散推大发散"。具体操作时，先判断待判级数是偏大还是偏小，再选合适的比较方向。

4. 错误表现：根值法中将 $\sqrt[n]{u_n}$ 误算为 $u_n$ 的 $n$ 次方根之外的其他形式。 错误原因：计算粗心，如将 $\sqrt[n]{a^n \cdot b}$ 错算为 $a \cdot b$ 而非 $a \cdot b^{1/n}$。 正确理解/做法：$\sqrt[n]{u_n}$ 严格等于 $u_n^{1/n}$，计算时逐因子取 $1/n$ 次幂，注意 $b^{1/n} \to 1$（$b$ 为正常数）。

---

七、来源标注

• 依据2026考研统考大纲（数学一·高等数学·无穷级数·常数项级数部分）
• 依据大学本科经典教材共识（同济大学《高等数学》第七版下册）