数学一

线性代数

行列式的计算方法

定位信息

• 章节：第一章 行列式 §1.2
• 编号：MATH-LIN-02
• 难度：★★★☆☆
• 近5年考频：直接或间接考查每年必出现

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一、知识点讲解

2.1 基本思路：化三角法

将行列式通过行（列）变换化为上三角或下三角形式，行列式等于主对角线元素之积。

步骤：

1. 选定主元（通常从左上角开始）
2. 利用倍加变换将主元下方元素消为零
3. 逐列推进，最终化为三角形式

$|A| \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{vmatrix} a_{11} & * & \cdots & * \\ 0 & a_{22} & \cdots & * \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \prod_{i=1}^n a_{ii}$

注意：行倍加变换不改变行列式值，但行互换需乘 $(-1)$，行提取公因子需乘以该因子。

2.2 按行（列）展开法

选择零元素最多的行或列展开，将 $n$ 阶行列式降为 $n-1$ 阶。

$|A| = \sum_{j=1}^n a_{ij} A_{ij} \quad (\text{按第}i\text{行})$

技巧：先用倍加变换制造零元素，再展开。例如要按第1列展开，先将第1列除 $a_{11}$ 外的元素全化为零。

2.3 递推法

当行列式具有递推结构时，建立 $D_n$ 与 $D_{n-1}$（及更低阶）的递推关系。

典型模型：三对角行列式

$D_n = \begin{vmatrix} a & b & 0 & \cdots & 0 \\ c & a & b & \cdots & 0 \\ 0 & c & a & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & c & a \end{vmatrix}$

按最后一行展开得 $D_n = aD_{n-1} - bcD_{n-2}$，结合初始条件 $D_1 = a$，$D_2 = a^2 - bc$ 求解。

2.4 数学归纳法

第一归纳法：验证 $n=1$ 成立，假设 $n=k$ 成立，证 $n=k+1$ 成立。

第二归纳法（强归纳法）：假设对所有 $m < n$ 成立，证 $n$ 成立。常与递推法配合使用。

2.5 加边法（升阶法）

将 $n$ 阶行列式升为 $n+1$ 阶，利用新增的行/列简化计算：

$D_n = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \Rightarrow \begin{vmatrix} 1 & b_1 & \cdots & b_n \\ 0 & a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$

通过第1行的适当倍加，将某列化简后展开。

2.6 各方法适用场景对比

方法	适用场景	优点	难点
化三角法	一般行列式	通用性强	计算量可能大
按行/列展开	零元素多的行列式	降阶	需配合变换
递推法	有递推结构（三对角等）	简洁	需识别递推关系
归纳法	与 $n$ 相关的行列式	严格证明	递推式的建立
加边法	含参数的特殊结构	可化简复杂结构	需要技巧
分块法	准三角/准对角结构	大幅降阶	结构需匹配

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二、记忆辅助

1. 计算策略口诀："先看结构再动手，零多展开零少三角" —— 优先观察行列式结构特征，选择最优方法
2. 递推法三步：展开 → 建立递推式 → 解递推（特征方程法或迭代法）
3. 展开选行选列原则："零最多的行或列展开" —— 零越多，展开项越少，计算越简
4. 加边法口诀："升一阶降一维" —— 通过升阶反而能简化结构

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三、例题精解

例1：化三角法

题目：计算 $D = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 \ 1 & 2 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 2 & 1 \ 1 & 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

第一步：审题与分析 这是一个所有对角元素相同、非对角元素也相同的对称行列式。各行之和均为 $2+1+1+1=5$。

第二步：选择方法 方法一：先将各列加到第1列（使第1列全变为5），提公因子后化三角。 方法二：利用各行之和相同的特点。

第三步：完整计算$c_1 + c_2 + c_3 + c_4$（各列加到第1列）：

$D = \begin{vmatrix} 5 & 1 & 1 & 1 \\ 5 & 2 & 1 & 1 \\ 5 & 1 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 5 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

$r_2 - r_1, r_3 - r_1, r_4 - r_1$：

$= 5 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 5 \times 1 = 5$

第四步：验证与总结$\boxed{D = 5}$。推广：$n$ 阶同结构行列式（对角为 $a$，非对角为 $b$）$= [a + (n-1)b](a-b)^{n-1}$。代入 $a=2, b=1, n=4$：$(2+3)(2-1)^3 = 5$。✓

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例2：递推法

题目：计算 $D_n = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \ 1 & 2 & 1 & \cdots & 0 & 0 \ 0 & 1 & 2 & \cdots & 0 & 0 \ \vdots & & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 1 & 2 & 1 \ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}$（$n$ 阶）

第一步：审题与分析 这是三对角行列式，主对角线全为2，上下次对角线全为1。适合递推法。

第二步：选择方法 按最后一行展开建立递推关系。

第三步：完整计算 按最后一行展开： $D_n = 2D_{n-1} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 & & \\ 1 & 2 & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & 1 & 0 \end{vmatrix}$

其中第二个行列式按最后一列展开得 $(-1)^{(n-1)+(n-2)} \cdot 1 \cdot D_{n-2} = -D_{n-2}$

不对，更准确地：按最后一行展开，$a_{n,n} = 2$ 对应余子式为 $D_{n-1}$，$a_{n,n-1} = 1$ 对应的余子式是划去第 $n$ 行第 $n-1$ 列的行列式，再按最后一列展开得 $D_{n-2}$。

递推关系：$D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$

初始条件：$D_1 = 2$，$D_2 = \begin{vmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3$

特征方程：$r^2 - 2r + 1 = 0$，$(r-1)^2 = 0$，$r = 1$（重根）

通解：$D_n = (A + Bn) \cdot 1^n = A + Bn$

代入：$D_1 = A + B = 2$，$D_2 = A + 2B = 3$，解得 $A = 1, B = 1$

$D_n = n + 1$

第四步：验证与总结$\boxed{D_n = n+1}$。验证：$D_3 = 4$，直接计算 $\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \ 1 & 2 & 1 \ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2(4-1) - 1(2-0) = 6-2 = 4$。✓

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四、考情分析

• 题型分布：选择/填空题为主，偶尔作为大题的计算步骤
• 考查重点：化三角法是最通用方法；递推法和特殊行列式（范德蒙德、三对角）是高频考点
• 命题趋势：近年倾向考查含参数的行列式计算，需要讨论参数取值
• 注意事项：计算量大时务必验算，行列式计算是后续章节的基础，算错则满盘皆输

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五、易错点

1. 行变换时误用"互换"：化三角时只需倍加变换（不改变行列式值），切勿使用行互换而不调整符号
2. 递推式展开符号错误：按行/列展开时，$(-1)^{i+j}$ 的指数计算容易出错，尤其是非首行/首列展开时
3. 提公因子后忘记乘回：从某行（列）提出公因子 $k$ 后，最终结果要乘以 $k$，这在多步操作中容易遗漏
4. 加边法中新增行列选择不当：加边时应选择能产生大量零元素的向量 $b_1, \ldots, b_n$，否则适得其反

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六、来源标注

• 同济大学《线性代数》第6版 第1章 §1.4-§1.5
• 李永乐《线性代数辅导讲义》第1章
• 张宇《考研数学线性代数9讲》第1讲
• 汤家凤《线性代数辅导讲义》第1章