数学一

线性代数

实对称矩阵的正交对角化

定位信息

• 章节：第五章 特征值与特征向量 §5.3
• 编号：MATH-LIN-20
• 难度：★★★★★
• 近5年考频：最高频考点之一，几乎每年大题

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一、知识点讲解

20.1 实对称矩阵的特殊性质

定理1：实对称矩阵的特征值都是实数。

定理2：实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交。

定理3（核心）：实对称矩阵必可正交对角化，即存在正交矩阵 $Q$ 使得

$Q^TAQ = Q^{-1}AQ = \Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$

定理4：对 $k$ 重特征值 $\lambda_i$，$r(A - \lambda_i E) = n - k$，即几何重数 $=$ 代数重数。

20.2 正交对角化的步骤

1. 求特征值：解 $|A - \lambda E| = 0$，得 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$
2. 求特征向量：对每个 $\lambda_i$ 求 $(A - \lambda_i E)x = 0$ 的基础解系
3. 正交化：
   • 不同特征值的特征向量已经正交（定理2）
   • 同一特征值内的多个特征向量需用 Schmidt正交化
4. 单位化：将所有正交后的特征向量除以各自的长度
5. 构造正交矩阵：$Q = (\gamma_1, \ldots, \gamma_n)$，则 $Q^TAQ = \Lambda$

20.3 与一般对角化的对比

项目	一般对角化	正交对角化
适用矩阵	有 $n$ 个线性无关特征向量的方阵	实对称矩阵
变换矩阵	可逆矩阵 $P$	正交矩阵 $Q$（$Q^{-1} = Q^T$）
变换形式	$P^{-1}AP = \Lambda$	$Q^TAQ = \Lambda$
一定可以？	不一定	一定可以
特征向量	不一定正交	必可正交化
特征值	可能是复数	一定是实数

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二、记忆辅助

1. 实对称矩阵三大定理："特征值全是实数、不同特征值的特征向量正交、必可正交对角化"
2. 正交对角化口诀："求值→求向量→不同特征值已正交→同特征值内正交化→单位化→排成 $Q$"
3. $Q$ 是正交矩阵：$Q^{-1} = Q^T$，所以 $Q^T A Q = \Lambda$，不需要求逆

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三、例题精解

例1：实对称矩阵的正交对角化

题目：$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \ 2 & 1 & 2 \ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}$，求正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^TAQ = \Lambda$。

第一步：审题与分析$A$ 是实对称矩阵，必可正交对角化。按步骤求解。

第二步：选择方法 求特征值 → 特征向量 → 正交化 → 单位化。

第三步：完整计算

特征值：

$|A - \lambda E| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 & 2 \\ 2 & 1-\lambda & 2 \\ 2 & 2 & 1-\lambda \end{vmatrix}$

各列加到第1列：$(5-\lambda)\begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \ 1 & 1-\lambda & 2 \ 1 & 2 & 1-\lambda \end{vmatrix}$

$r_2 - r_1, r_3 - r_1$：$(5-\lambda)\begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \ 0 & -1-\lambda & 0 \ 0 & 0 & -1-\lambda \end{vmatrix} = (5-\lambda)(-1-\lambda)^2$

$= -(5-\lambda)(\lambda+1)^2$

$\lambda_1 = -1$（二重），$\lambda_2 = 5$（一重）。

$\lambda_1 = -1$：$A + E = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \ 2 & 2 & 2 \ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

基础解系：$\xi_1 = (-1, 1, 0)^T$，$\xi_2 = (-1, 0, 1)^T$

正交化（同一特征值内需正交化）：

$\beta_1 = \xi_1 = (-1, 1, 0)^T$

$\beta_2 = \xi_2 - \frac{(\xi_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1 = (-1, 0, 1)^T - \frac{1}{2}(-1, 1, 0)^T = (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1)^T$

单位化：

$\gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(-1, 1, 0)^T$

$\gamma_2 = \frac{1}{\sqrt{3/2}}(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 1)^T = \frac{1}{\sqrt{6}}(-1, -1, 2)^T$

$\lambda_2 = 5$：$A - 5E = \begin{pmatrix} -4 & 2 & 2 \ 2 & -4 & 2 \ 2 & 2 & -4 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \ 0 & 1 & -1 \ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\xi_3 = (1, 1, 1)^T$，$\gamma_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)^T$

第四步：验证与总结

$\boxed{Q = \begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}, \quad \Lambda = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}$

验证：$Q^TQ = E$（列向量标准正交）✓

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四、考情分析

• 题型分布：解答题（正交对角化完整过程，几乎每年必考，10-12分大题）、选择题（实对称矩阵性质）
• 考查重点：正交对角化的完整步骤（求特征值→特征向量→Schmidt正交化→单位化→构造 $Q$）
• 命题趋势：这是线性代数大题的最高频考点之一，常与二次型化标准形结合
• 分值占比：约8-12分

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五、易错点

1. 同一特征值内需要正交化：不同特征值的特征向量自动正交，但同一特征值的多个特征向量需要手动Schmidt正交化
2. 单位化不能忘：Schmidt正交化后只保证正交，还需除以长度变成单位向量
3. $Q$ 的列必须与 $\Lambda$ 的对角元对应：$Q$ 的第 $i$ 列对应的特征值必须是 $\Lambda$ 的第 $i$ 个对角元
4. 实对称矩阵的特征值一定是实数：不需要讨论复数情况，这是实对称矩阵的重要性质

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六、来源标注

• 同济大学《线性代数》第6版 第5章 §5.4
• 李永乐《线性代数辅导讲义》第5章
• 张宇《考研数学线性代数9讲》第9讲