MATH-PRO-24 中心极限定理

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一、定位信息

项目	内容
所属章节	第五章 大数定律和中心极限定理
知识单元编号	MATH-PRO-24
前置知识	MATH-PRO-23（大数定律）
后续关联	MATH-PRO-25（总体与样本）
考试地位	选择题常考，近似计算重要
难度等级	★★★☆☆

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二、知识点讲解

1. 林德伯格-莱维定理（独立同分布中心极限定理）

条件：$X_1, X_2, \ldots$ 独立同分布，$E(X_i) = \mu$，$D(X_i) = \sigma^2 > 0$。

结论：

$\boxed{\frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sqrt{n}\sigma} = \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1)}$

即当 $n$ 充分大时：

$\sum_{i=1}^n X_i \;\dot{\sim}\; N(n\mu, n\sigma^2), \quad \bar{X}_n \;\dot{\sim}\; N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$

意义：无论 $X_i$ 服从什么分布（只要期望和方差存在），$n$ 充分大时样本均值近似服从正态分布。

2. 棣莫弗-拉普拉斯定理（二项分布的正态近似）

条件：$X \sim B(n, p)$。

结论：

$\frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}} \xrightarrow{d} N(0,1)$

即当 $n$ 充分大时，$X \;\dot{\sim}\; N(np, np(1-p))$。

这是二项分布的正态近似（另一种近似是泊松近似）。

3. 中心极限定理vs大数定律

对比项	大数定律	中心极限定理
结论	$\bar{X}_n \xrightarrow{P} \mu$	$\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1)$
内容	收敛到常数	收敛到正态分布
给出信息	均值趋向期望	均值的分布形态
能否算概率	不能（只知道趋向）	能（近似为正态）

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三、记忆辅助

1. 中心极限定理：独立同分布的和（或均值）趋向正态分布——"和的极限是正态"。
2. 标准化公式：$\frac{\sum X_i - n\mu}{\sqrt{n}\sigma} \to N(0,1)$——"减期望除标准差"。
3. 二项近似：$n$ 大时 $B(n,p) \approx N(np, npq)$。
4. 两种近似选择：$n$ 大 $p$ 小用泊松近似，$n$ 大 $p$ 不太小用正态近似。

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四、例题精解

【例题1】独立同分布中心极限定理

题目：设 $X_1, X_2, \ldots, X_{100}$ 独立同分布，$X_i \sim U(0,2)$。求 $P(\sum_{i=1}^{100} X_i > 110)$ 的近似值。（已知 $\Phi(1) = 0.8413$）

解答：

第一步：确定参数

$E(X_i) = 1$，$D(X_i) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$。

$E(\sum X_i) = 100$，$D(\sum X_i) = 100 \times \frac{1}{3} = \frac{100}{3}$。

第二步：标准化

$P\left(\sum_{i=1}^{100} X_i > 110\right) = P\left(\frac{\sum X_i - 100}{\sqrt{100/3}} > \frac{110 - 100}{\sqrt{100/3}}\right)$

$= P\left(Z > \frac{10}{10/\sqrt{3}}\right) = P(Z > \sqrt{3}) \approx P(Z > 1.732)$

第三步：查表

$P(Z > 1.732) = 1 - \Phi(1.732) \approx 1 - 0.9584 = 0.0416$

第四步：结论

$P(\sum X_i > 110) \approx 0.0416$。

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【例题2】二项分布的正态近似

题目：某厂产品的次品率为0.05，现取400件检验，求次品数不超过30的概率。（已知 $\Phi(2.29) \approx 0.989$）

解答：

第一步：确定分布

$X \sim B(400, 0.05)$，$np = 20$，$np(1-p) = 19$。

第二步：正态近似

$X \;\dot{\sim}\; N(20, 19)$，$\sigma = \sqrt{19} \approx 4.359$。

第三步：标准化

$P(X \leq 30) = P\left(\frac{X - 20}{\sqrt{19}} \leq \frac{30 - 20}{\sqrt{19}}\right) = P\left(Z \leq \frac{10}{4.359}\right) = P(Z \leq 2.294)$

第四步：查表

$P(Z \leq 2.294) \approx \Phi(2.29) \approx 0.989$

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五、考情分析

年份	题型	考点	分值
中频	选择题	中心极限定理的条件与结论	4分
中频	计算题	用中心极限定理做近似计算	10分
偶尔	概念题	大数定律与中心极限定理的区别	4分

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六、易错点

1. 标准化公式：$\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$，分母是 $\sigma/\sqrt{n}$，不是 $\sigma$。
2. 二项近似的适用条件：$np$ 和 $n(1-p)$ 都不太小时用正态近似（一般要求 $np \geq 5$，$n(1-p) \geq 5$）。
3. 中心极限定理不能替代精确分布：$n$ 不够大时近似效果差。

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七、来源标注

来源	说明
教材	浙大版《概率论与数理统计》第5章 §5.2
大纲	考研数学一大纲"中心极限定理"