数学一

线性代数

克拉默法则

定位信息

• 章节：第四章 线性方程组 §4.1
• 编号：MATH-LIN-14
• 难度：★★☆☆☆
• 近5年考频：直接考频率低，但理论意义重要

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一、知识点讲解

14.1 克拉默法则的内容

定理（克拉默法则）：设 $n$ 个方程 $n$ 个未知数的线性方程组

$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \cdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n = b_n \end{cases}$

若系数行列式 $D = |A| \neq 0$，则方程组有唯一解：

$x_j = \frac{D_j}{D}, \quad j = 1, 2, \ldots, n$

其中 $D_j$ 是将 $A$ 的第 $j$ 列替换为常数列 $(b_1, \ldots, b_n)^T$ 后所得的行列式。

14.2 克拉默法则的证明思路

设 $Ax = b$，$|A| \neq 0$，则 $A$ 可逆，$x = A^{-1}b = \frac{1}{|A|}A^*b$。

$x_j = \frac{1}{|A|}\sum_{i=1}^n A_{ij}b_i = \frac{1}{|A|}D_j$（按第 $j$ 列展开 $D_j$）。

14.3 齐次方程组的推论

推论：齐次方程组 $Ax = 0$（$A$ 为 $n$ 阶方阵）：

• $|A| \neq 0$ $\Rightarrow$ 只有零解
• $|A| = 0$ $\Rightarrow$ 有非零解

等价地：$Ax = 0$ 有非零解 $\Leftrightarrow$ $|A| = 0$ $\Leftrightarrow$ $r(A) < n$。

14.4 克拉默法则的局限性

优点	局限
给出解的显式公式	仅适用于方阵（$n$ 个方程 $n$ 个未知数）
理论意义重大	要求 $|A| \neq 0$
可分析解对参数的依赖	计算量大（$n+1$ 个 $n$ 阶行列式），实际很少用于求解

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二、记忆辅助

1. 克拉默法则三要素：方阵、$|A| \neq 0$、$x_j = D_j/D$
2. $D_j$ 的构造："第 $j$ 列换常数列" —— 只替换第 $j$ 列，其他列不变
3. 齐次方程组关键等价：$Ax = 0$ 有非零解 $\Leftrightarrow$ $|A| = 0$ $\Leftrightarrow$ $r(A) < n$

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三、例题精解

例1：用克拉默法则求解

题目：用克拉默法则解方程组 $\begin{cases} x_1 + 2x_2 = 5 \ 3x_1 + 4x_2 = 11 \end{cases}$

第一步：审题与分析 2个方程2个未知数，系数矩阵为方阵，先计算 $D$。

第二步：选择方法 克拉默法则。

第三步：完整计算

$D = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 4 - 6 = -2 \neq 0$

$D_1 = \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 11 & 4 \end{vmatrix} = 20 - 22 = -2$

$D_2 = \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 11 \end{vmatrix} = 11 - 15 = -4$

$x_1 = \frac{D_1}{D} = \frac{-2}{-2} = 1, \quad x_2 = \frac{D_2}{D} = \frac{-4}{-2} = 2$

第四步：验证与总结$\boxed{x_1 = 1, x_2 = 2}$。验证：$1 + 2 \times 2 = 5$ ✓，$3 + 4 \times 2 = 11$ ✓。

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例2：齐次方程组的非零解条件

题目：$k$ 取何值时，齐次方程组 $\begin{cases} kx_1 + x_2 + x_3 = 0 \ x_1 + kx_2 + x_3 = 0 \ x_1 + x_2 + kx_3 = 0 \end{cases}$ 有非零解？

第一步：审题与分析 3个方程3个未知数的齐次方程组，有非零解 $\Leftrightarrow$ $|A| = 0$。

第二步：选择方法 计算系数行列式并令其为零。

第三步：完整计算

$|A| = \begin{vmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{vmatrix}$

三列加到第1列：$(k+2) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & k & 1 \ 1 & 1 & k \end{vmatrix}$

$r_2 - r_1, r_3 - r_1$：$(k+2)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \ 0 & k-1 & 0 \ 0 & 0 & k-1 \end{vmatrix} = (k+2)(k-1)^2$

令 $(k+2)(k-1)^2 = 0$，得 $k = -2$ 或 $k = 1$。

第四步：验证与总结$\boxed{k = -2 \text{ 或 } k = 1}$ 时有非零解。

验证 $k=1$：三个方程相同 $x_1+x_2+x_3=0$，显然有非零解（如 $(1,-1,0)^T$）✓

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四、考情分析

• 题型分布：选择题（齐次方程组非零解条件）、填空题（克拉默法则的直接应用）
• 考查重点：$|A| = 0$ 与非零解的等价关系、含参数的讨论
• 命题趋势：克拉默法则本身出大题概率低，但其思想（行列式与方程组的关系）是核心
• 分值占比：约2-4分

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五、易错点

1. 克拉默法则的前提条件：必须是方阵（$n$ 个方程 $n$ 个未知数）且 $|A| \neq 0$。非方阵不能用
2. $D_j$ 的替换位置：只替换第 $j$ 列，其他列保持不变。不要把整个矩阵都换成常数列
3. 齐次方程组 $|A|=0$ 的等价表述：$|A| = 0 \Leftrightarrow$ 有非零解 $\Leftrightarrow$ $r(A) < n$。这三者完全等价，不要遗漏

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六、来源标注

• 同济大学《线性代数》第6版 第4章 §4.1
• 李永乐《线性代数辅导讲义》第4章
• 张宇《考研数学线性代数9讲》第7讲