数学一

线性代数

特征值与特征向量的概念与性质

定位信息

• 章节：第五章 特征值与特征向量 §5.1
• 编号：MATH-LIN-18
• 难度：★★★★☆
• 近5年考频：核心高频考点，每年必考

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一、知识点讲解

18.1 定义

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，若存在数 $\lambda$ 和非零向量 $\xi$ 使得

$A\xi = \lambda\xi$

则称 $\lambda$ 为 $A$ 的一个特征值，$\xi$ 为 $A$ 对应于 $\lambda$ 的特征向量。

几何意义：$A$ 作用在 $\xi$ 上只改变长度（乘以 $\lambda$），不改变方向。

18.2 特征方程与特征多项式

$A\xi = \lambda\xi$ $\Leftrightarrow$ $(A - \lambda E)\xi = 0$（$\xi \neq 0$）

$\Leftrightarrow$ $(A - \lambda E)x = 0$ 有非零解

$\Leftrightarrow$ $|A - \lambda E| = 0$

特征方程：$|A - \lambda E| = 0$

特征多项式：$f(\lambda) = |A - \lambda E|$（$\lambda$ 的 $n$ 次多项式）

18.3 特征值与特征向量的求法

1. 计算特征多项式 $f(\lambda) = |A - \lambda E|$
2. 解特征方程 $f(\lambda) = 0$，得特征值 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$（含重根）
3. 对每个 $\lambda_i$，求 $(A - \lambda_i E)x = 0$ 的基础解系，即为对应于 $\lambda_i$ 的线性无关的特征向量

18.4 特征值的性质

设 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ 为 $A$ 的 $n$ 个特征值（含重根），则：

性质	公式
特征值之和 = 迹	$\sum_{i=1}^n \lambda_i = \text{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii}$
特征值之积 = 行列式	$\prod_{i=1}^n \lambda_i =
$k\lambda$ 是 $kA$ 的特征值	$A\xi = \lambda\xi \Rightarrow (kA)\xi = (k\lambda)\xi$
$\lambda^m$ 是 $A^m$ 的特征值	$A^m\xi = \lambda^m\xi$
$\frac{1}{\lambda}$ 是 $A^{-1}$ 的特征值	$A^{-1}\xi = \frac{1}{\lambda}\xi$（$\lambda \neq 0$）
$\frac{	A

18.5 特征向量的性质

• 属于不同特征值的特征向量线性无关
• 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是该特征值的特征向量
• 一个特征值可以有多个线性无关的特征向量（但不超过该特征值的重数）

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二、记忆辅助

1. 特征方程：$|A - \lambda E| = 0$ —— "让 $A - \lambda E$ 不可逆"
2. 特征值的两个基本量：$\sum \lambda_i = \text{tr}(A)$，$\prod \lambda_i = |A|$ —— "和为迹，积为行列式"
3. $f(A)$ 的特征值：若 $A\xi = \lambda\xi$，则 $f(A)\xi = f(\lambda)\xi$ —— 多项式代入特征值

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三、例题精解

例1：求特征值与特征向量

题目：求 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 \end{pmatrix}$ 的特征值与特征向量。

第一步：审题与分析 二阶矩阵，直接计算特征方程。

第二步：选择方法$|A - \lambda E| = 0$。

第三步：完整计算

$|A - \lambda E| = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = (\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0$

$\lambda_1 = 1$，$\lambda_2 = 3$。

$\lambda_1 = 1$ 时：$(A - E)x = 0$

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}x = 0 \Rightarrow x_1 + x_2 = 0$

基础解系：$\xi_1 = (1, -1)^T$

$\lambda_2 = 3$ 时：$(A - 3E)x = 0$

$\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}x = 0 \Rightarrow x_1 = x_2$

基础解系：$\xi_2 = (1, 1)^T$

第四步：验证与总结$\boxed{\lambda_1 = 1, \xi_1 = (1,-1)^T; \quad \lambda_2 = 3, \xi_2 = (1,1)^T}$

验证：$A\xi_1 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ -1 \end{pmatrix} = 1 \cdot \xi_1$ ✓

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例2：特征值性质的应用

题目：设3阶矩阵 $A$ 的特征值为 $1, -1, 2$，求 $|A^2 + 2A - 3E|$。

第一步：审题与分析 利用 $f(A)$ 的特征值为 $f(\lambda)$。

第二步：选择方法$A^2 + 2A - 3E = (A+E)(A-3E)$，或者直接计算 $f(\lambda) = \lambda^2 + 2\lambda - 3$。

第三步：完整计算

令 $f(\lambda) = \lambda^2 + 2\lambda - 3 = (\lambda+3)(\lambda-1)$。

$f(A) = A^2 + 2A - 3E$ 的特征值为：

$f(1) = 1 + 2 - 3 = 0$

$f(-1) = 1 - 2 - 3 = -4$

$f(2) = 4 + 4 - 3 = 5$

$|f(A)| = f(1) \cdot f(-1) \cdot f(2) = 0 \times (-4) \times 5 = 0$

第四步：验证与总结$\boxed{|A^2 + 2A - 3E| = 0}$

注意：$f(1) = 0$ 说明 $0$ 是 $f(A)$ 的特征值，所以 $|f(A)| = 0$（不可逆）。

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四、考情分析

• 题型分布：解答题（求特征值和特征向量）、选择题（特征值的性质）、填空题（利用特征值求行列式/迹）
• 考查重点：特征方程的求解、特征值的基本性质（迹和行列式的关系）
• 命题趋势：特征值与特征向量是后续章节（相似对角化、二次型）的基础，几乎每年必考
• 分值占比：约5-10分

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五、易错点

1. 特征向量必须非零：零向量不是特征向量，即使 $A \cdot 0 = \lambda \cdot 0$ 对所有 $\lambda$ 成立
2. 特征多项式是 $\lambda$ 的 $n$ 次多项式：$|A - \lambda E|$ 中 $\lambda$ 的系数交替出现正负号，最高次项为 $(-\lambda)^n$
3. 不同特征值的特征向量线性无关，但反之不成立：同一特征值的多个特征向量也可能线性无关
4. $A^m$ 的特征值是 $\lambda^m$：特征向量不变，只是特征值取幂

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六、来源标注

• 同济大学《线性代数》第6版 第5章 §5.1-§5.2
• 李永乐《线性代数辅导讲义》第5章
• 张宇《考研数学线性代数9讲》第8讲