MATH-PRO-33 两类错误与显著性检验

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一、定位信息

项目	内容
所属章节	第八章 假设检验
知识单元编号	MATH-PRO-33
前置知识	MATH-PRO-32（假设检验基本概念）
后续关联	MATH-PRO-34（具体检验方法）
考试地位	概念辨析常考
难度等级	★★★☆☆

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二、知识点讲解

1. 两类错误

第一类错误（弃真错误）：$H_0$ 为真时拒绝 $H_0$，概率为 $\alpha$。

$\alpha = P(\text{拒绝} H_0 \mid H_0 \text{为真})$

第二类错误（取伪错误）：$H_0$ 为假时不拒绝 $H_0$，概率为 $\beta$。

$\beta = P(\text{不拒绝} H_0 \mid H_0 \text{为假})$

2. 两类错误的关系

	$H_0$ 为真	$H_0$ 为假
拒绝 $H_0$	第一类错误（$\alpha$）	正确（$1-\beta$，检验功效）
不拒绝 $H_0$	正确（$1-\alpha$）	第二类错误（$\beta$）

关键关系：

• $\alpha$ 减小时，$\beta$ 通常增大（此消彼长）
• 样本量 $n$ 增大时，$\alpha$ 和 $\beta$ 可同时减小
• 固定 $\alpha$，增大 $n$ 可减小 $\beta$

3. 显著性检验

定义：只控制第一类错误概率 $\alpha$（显著性水平），不考虑第二类错误的检验称为显著性检验。

$\alpha$ 的常用取值：0.01, 0.05, 0.10

实际操作：$\alpha$ 越小，拒绝 $H_0$ 的标准越严格，越难拒绝 $H_0$。

4. 检验的功效

功效（势函数）：$1 - \beta = P(\text{拒绝} H_0 \mid H_0 \text{为假})$

功效越大，检验越能正确地拒绝错误的 $H_0$。

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三、记忆辅助

1. 第一类错误（弃真）：$\alpha$——"$H_0$ 是对的，但被否定了"。
2. 第二类错误（取伪）：$\beta$——"$H_0$ 是错的，但没被否定"。
3. $\alpha$ 和 $\beta$ 此消彼长：减小 $\alpha$ 会增大 $\beta$，除非增大样本量。
4. 显著性检验只管 $\alpha$：我们只控制"弃真"的概率，这是统计学的惯例。

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四、例题精解

【例题1】计算两类错误概率

题目：设 $X \sim N(\mu, 1)$，$H_0: \mu = 0$ vs $H_1: \mu = 1$。取一个样本 $X_1$，拒绝域为 $X_1 > 0.5$。求 $\alpha$ 和 $\beta$。

解答：

第一步：求 $\alpha$（弃真概率）

$H_0$ 为真时 $X_1 \sim N(0, 1)$： $\alpha = P(X_1 > 0.5 \mid \mu = 0) = P(Z > 0.5) = 1 - \Phi(0.5) = 1 - 0.6915 = 0.3085$

第二步：求 $\beta$（取伪概率）

$H_1$ 为真时 $X_1 \sim N(1, 1)$： $\beta = P(X_1 \leq 0.5 \mid \mu = 1) = P(Z \leq -0.5) = \Phi(-0.5) = 0.3085$

第三步：求检验功效

$1 - \beta = 1 - 0.3085 = 0.6915$

第四步：结论

$\alpha = \beta = 0.3085$，检验功效为 $0.6915$。说明这个检验效果不太好（两类错误都较大）。

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【例题2】增大样本量的效果

题目：接例题1，若取 $n = 25$ 个样本，拒绝域为 $\bar{X} > c$。为使 $\alpha = 0.05$，求 $c$ 和对应的 $\beta$。（$z_{0.05} = 1.645$）

解答：

第一步：确定 $c$

$H_0$ 为真时 $\bar{X} \sim N(0, 1/25)$：

$\alpha = P(\bar{X} > c \mid \mu = 0) = P\left(Z > \frac{c}{1/5}\right) = P(Z > 5c) = 0.05$

$5c = 1.645$，$c = 0.329$

第二步：求 $\beta$

$H_1$ 为真时 $\bar{X} \sim N(1, 1/25)$：

$\beta = P(\bar{X} \leq 0.329 \mid \mu = 1) = P\left(Z \leq \frac{0.329-1}{0.2}\right) = P(Z \leq -3.355) \approx 0.0004$

第三步：比较

$n=1$ 时 $\alpha = \beta = 0.3085$；$n=25$ 时 $\alpha = 0.05$，$\beta \approx 0.0004$。

第四步：结论

增大样本量后，两类错误都大幅减小 ✓。

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五、考情分析

年份	题型	考点	分值
中频	选择题	两类错误的概念辨析	4分
中频	计算题	计算 $\alpha$ 和 $\beta$	10分
中频	概念题	样本量与两类错误的关系	4分

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六、易错点

1. $\alpha$ 和 $\beta$ 不是互补的：$\alpha + \beta \neq 1$，它们分别在不同条件下定义。
2. "不拒绝 $H_0$" ≠ "$H_0$ 正确"：可能犯了第二类错误。
3. 减小 $\alpha$ 会增大 $\beta$：除非增大样本量。

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七、来源标注

来源	说明
教材	浙大版《概率论与数理统计》第8章 §8.2
大纲	考研数学一大纲"两类错误与显著性检验"