MATH-PRO-14 二维连续型随机变量及其分布

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一、定位信息

项目	内容
所属章节	第三章 多维随机变量及其分布
知识单元编号	MATH-PRO-14
前置知识	MATH-PRO-13（二维离散型）
后续关联	MATH-PRO-15（边缘与条件分布）、MATH-PRO-17（二维正态）
考试地位	二维连续型是重难点，解答题高频
难度等级	★★★★★

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二、知识点讲解

1. 联合概率密度

定义：若 $(X, Y)$ 的分布函数 $F(x,y)$ 可表示为：

$F(x,y) = \int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} f(u,v)\,du\,dv$

其中 $f(x,y) \geq 0$，则称 $(X, Y)$ 为二维连续型随机变量，$f(x,y)$ 为联合概率密度。

性质：

1. $f(x,y) \geq 0$
2. $\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y)\,dx\,dy = 1$
3. 在 $f(x,y)$ 的连续点处：$f(x,y) = \frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x \partial y}$
4. $P((X,Y) \in D) = \iint_D f(x,y)\,dx\,dy$

2. 概率计算的关键：区域积分

$P((X,Y) \in D) = \iint_D f(x,y)\,dx\,dy$

核心技巧：正确画出积分区域 $D$，化二重积分为累次积分。

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三、记忆辅助

1. 联合密度两条：非负性 + 归一性（二重积分为1）。
2. 概率 = 面积上的积分：$P((X,Y) \in D) = \iint_D f(x,y)dxdy$。
3. 分布函数与密度：$F = \int\int f$（积分得分布），$f = \frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y}$（求导得密度）。
4. 画图定限：二重积分的关键是画出积分区域，确定积分上下限。

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四、例题精解

【例题1】由联合密度求概率

题目：设 $(X,Y)$ 的联合密度为

$f(x,y) = \begin{cases} 2, & 0 < x < 1, \, 0 < y < x \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

求 $P(X + Y < 1)$。

解答：

第一步：画出积分区域

$f(x,y)$ 的支撑区域：$0 < x < 1$，$0 < y < x$（三角形区域）。

$X + Y < 1$ 即 $y < 1 - x$。

第二步：确定交集区域

$D = \{(x,y) \mid 0 < x < 1, \, 0 < y < \min(x, 1-x)\}$

当 $0 < x < \frac{1}{2}$ 时，$y < x$（因为 $x < 1-x$） 当 $\frac{1}{2} \leq x < 1$ 时，$y < 1-x$（因为 $1-x \leq x$）

第三步：计算积分

$P(X+Y<1) = \int_0^{1/2}\int_0^x 2\,dy\,dx + \int_{1/2}^1\int_0^{1-x} 2\,dy\,dx$

$= \int_0^{1/2} 2x\,dx + \int_{1/2}^1 2(1-x)\,dx$

$= x^2\Big|_0^{1/2} + \left[2x - x^2\right]_{1/2}^1 = \frac{1}{4} + \left[(2-1) - (1-\frac{1}{4})\right] = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

第四步：验证

总概率 = $\int_0^1\int_0^x 2\,dy\,dx = \int_0^1 2x\,dx = 1$ ✓

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【例题2】求联合分布函数

题目：设 $(X,Y)$ 的联合密度为 $f(x,y) = e^{-(x+y)}$，$x > 0$，$y > 0$。求 $F(x,y)$。

解答：

第一步：当 $x \leq 0$ 或 $y \leq 0$ 时

$F(x,y) = 0$。

第二步：当 $x > 0$，$y > 0$ 时

$F(x,y) = \int_0^x\int_0^y e^{-(u+v)}\,dv\,du = \int_0^x e^{-u}\,du \cdot \int_0^y e^{-v}\,dv$

$= (1-e^{-x})(1-e^{-y})$

第三步：写出完整分布函数

$F(x,y) = \begin{cases} (1-e^{-x})(1-e^{-y}), & x > 0, y > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

第四步：验证

$F(+\infty, +\infty) = (1-0)(1-0) = 1$ ✓ $\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y} = e^{-x} \cdot e^{-y} = e^{-(x+y)} = f(x,y)$ ✓

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五、考情分析

年份	题型	考点	分值
高频	解答题	二维连续型概率计算（区域积分）	10-12分
中频	计算	联合密度→联合分布函数	10分
中频	选择题	联合密度性质判断	4分

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六、易错点

1. 积分区域画错：二重积分的关键是正确画出区域，建议先画图再定限。
2. 累次积分的次序：先对哪个变量积分取决于区域形状，选择方便的次序。
3. 支撑区域外密度为0：$f(x,y)$ 在支撑区域外为0，积分时不要超出范围。
4. $\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y}$ 的求导次序：先对 $x$ 求偏导再对 $y$，或反过来，结果相同（在连续条件下）。

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七、来源标注

来源	说明
教材	浙大版《概率论与数理统计》第3章 §3.2
大纲	考研数学一大纲"二维连续型随机变量及其分布"