数学一

高等数学

知识单元 MATH-CAL-42：两类曲线积分

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一、定位信息

• 圈层：核心层（大纲考点）
• 前置知识回顾：定积分（MATH-CAL-10）、空间曲线的参数方程、向量的基本运算。第一类曲线积分需要弧长微元，第二类曲线积分需要切向量。
• 知识网络定位：本单元是多元积分学的重要组成部分，上承二重积分，下启格林公式、斯托克斯公式。两类曲线积分的计算和相互转化是基本功。
• 考点热度等级：H级（高频重点）。两类曲线积分的计算是解答题的基础，常与格林公式结合考查。

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二、知识点讲解

2.1 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）

2.1.1 定义

设 $L$ 为 $xOy$ 平面上的光滑曲线弧，$f(x,y)$ 在 $L$ 上有界。将 $L$ 分成 $n$ 小段 $\Delta s_i$，在每段上任取一点 $(\xi_i, \eta_i)$，若极限

$\int_L f(x,y) \, ds = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i) \Delta s_i$

存在，则称其为 $f(x,y)$ 在曲线 $L$ 上对弧长的曲线积分。

物理意义：当 $f$ 为线密度时，积分结果为曲线的质量。

重要性质：第一类曲线积分与曲线的方向无关，即 $\int_L f \, ds = \int_{L^-} f \, ds$。

2.1.2 计算方法

参数方程法：设 $L$ 的参数方程为 $x = x(t)$，$y = y(t)$，$t \in [\alpha, \beta]$，则

$\int_L f(x,y) \, ds = \int_\alpha^\beta f(x(t), y(t)) \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} \, dt$

其中 $ds = \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2} \, dt$ 为弧长微元。

直角坐标法：若 $L$ 表示为 $y = y(x)$，$x \in [a,b]$，则

$\int_L f(x,y) \, ds = \int_a^b f(x, y(x)) \sqrt{1 + [y'(x)]^2} \, dx$

空间曲线：若 $L$ 的参数方程为 $x=x(t)$，$y=y(t)$，$z=z(t)$，$t \in [\alpha, \beta]$，则

$\int_L f(x,y,z) \, ds = \int_\alpha^\beta f(x(t),y(t),z(t)) \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2+[z'(t)]^2} \, dt$

2.2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）

2.2.1 定义

设 $L$ 为从点 $A$ 到点 $B$ 的有向光滑曲线，$P(x,y)$、$Q(x,y)$ 在 $L$ 上有界。将 $L$ 分成 $n$ 小段有向弧段 $\overrightarrow{M_{i-1}M_i}$，对应坐标增量为 $(\Delta x_i, \Delta y_i)$，在每段上任取一点 $(\xi_i, \eta_i)$，若极限

$\int_L P \, dx + Q \, dy = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} [P(\xi_i, \eta_i) \Delta x_i + Q(\xi_i, \eta_i) \Delta y_i]$

存在，则称其为第二类曲线积分。

物理意义：表示变力 $\vec{F} = (P, Q)$ 沿曲线 $L$ 所做的功。

重要性质：第二类曲线积分与曲线的方向有关，即 $\int_L P \, dx + Q \, dy = -\int_{L^-} P \, dx + Q \, dy$。

2.2.2 计算方法

参数方程法：设 $L$ 的参数方程为 $x=x(t)$，$y=y(t)$，$t$ 从 $\alpha$ 到 $\beta$（对应 $L$ 的方向），则

$\int_L P \, dx + Q \, dy = \int_\alpha^\beta [P(x(t),y(t)) x'(t) + Q(x(t),y(t)) y'(t)] \, dt$

注意：下限 $\alpha$ 对应 $L$ 的起点，上限 $\beta$ 对应 $L$ 的终点，不能颠倒。

2.3 两类曲线积分的关系

$\int_L P \, dx + Q \, dy = \int_L (P\cos\alpha + Q\cos\beta) \, ds$

其中 $(\cos\alpha, \cos\beta)$ 是 $L$ 上点 $(x,y)$ 处与 $L$ 方向一致的单位切向量。

对于空间曲线：

$\int_L P \, dx + Q \, dy + R \, dz = \int_L (P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma) \, ds$

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三、记忆与理解辅助

技巧1：两类曲线积分的核心区别

第一类（对弧长）：与方向无关，$ds$ 是标量。 第二类（对坐标）：与方向有关，$dx, dy$ 是有向投影。

口诀："一无向，二有向。"

技巧2：第一类曲线积分计算口诀

"参数化，求弧微，代入积分不费力。"

即：先参数化曲线 → 求 $ds = \sqrt{x'^2+y'^2+z'^2} \, dt$ → 代入被积函数积分。

技巧3：第二类曲线积分的方向处理

参数化后，$t$ 的起点对应曲线的起点，终点对应曲线的终点。方向反了，积分变号。

对比表：两类曲线积分

比较项	第一类（对弧长）	第二类（对坐标）
记号	$\int_L f \, ds$	$\int_L P \, dx + Q \, dy$
方向	与方向无关	与方向有关
物理意义	曲线的质量	变力做功
弧微元	$ds = \sqrt{x'^2+y'^2} \, dt$	$dx = x' \, dt$，$dy = y' \, dt$
转化关系	$\int_L f \, ds$	$\int_L (P\cos\alpha + Q\cos\beta) \, ds$
对称性	区域对称 + 被积函数偶 → 加倍	需考虑方向，较复杂

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四、例题与精解

例1（基础巩固）

命题意图：考查第一类曲线积分的基本计算。

题目：计算 $\int_L (x^2+y^2) \, ds$，其中 $L$ 为圆 $x^2+y^2 = a^2$ 的上半圆（从 $(a,0)$ 到 $(-a,0)$）。

审题分析：$L$ 是上半圆，自然参数化为 $x = a\cos t$，$y = a\sin t$，$t \in [0, \pi]$。第一类曲线积分与方向无关。

解题思路：参数化后直接计算。

完整步骤：

参数化：$x = a\cos t$，$y = a\sin t$，$t \in [0, \pi]$。

弧长微元：$ds = \sqrt{(-a\sin t)^2 + (a\cos t)^2} \, dt = \sqrt{a^2} \, dt = a \, dt$

被积函数：$x^2+y^2 = a^2\cos^2 t + a^2\sin^2 t = a^2$

$\int_L (x^2+y^2) \, ds = \int_0^\pi a^2 \cdot a \, dt = a^3 \int_0^\pi dt = a^3 \cdot \pi = \pi a^3$

答案：$\int_L (x^2+y^2) \, ds = \pi a^3$

方法反思：圆上 $x^2+y^2 = a^2$ 为常数，被积函数简化为常数乘弧长。上半圆弧长为 $\pi a$，所以结果为 $a^2 \cdot \pi a = \pi a^3$。利用这个性质可以快速验证。

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例2（中等提升）

命题意图：考查第二类曲线积分的计算，涉及参数方程和方向。

题目：计算 $\int_L y \, dx + x \, dy$，其中 $L$ 为从原点沿抛物线 $y = x^2$ 到点 $(1,1)$ 的弧段。

审题分析：$L$ 的方向是从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$。可用 $x$ 作为参数。

解题思路：将 $y = x^2$ 代入，$dy = 2x \, dx$，$x$ 从 $0$ 到 $1$。

完整步骤：

由 $y = x^2$ 得 $dy = 2x \, dx$。

$\int_L y \, dx + x \, dy = \int_0^1 [x^2 \, dx + x \cdot 2x \, dx] = \int_0^1 (x^2 + 2x^2) \, dx = \int_0^1 3x^2 \, dx$

$= 3 \cdot \frac{x^3}{3} \bigg|_0^1 = 1$

答案：$\int_L y \, dx + x \, dy = 1$

方法反思：① 第二类曲线积分化为定积分时，下限对应起点，上限对应终点；② 若曲线反向（从 $(1,1)$ 到原点），积分结果变为 $-1$；③ 本题被积表达式 $y \, dx + x \, dy = d(xy)$ 恰为全微分，积分值等于 $xy \big|_{(0,0)}^{(1,1)} = 1$，可以用全微分快速验证。

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五、考情分析

• 考查频次：两类曲线积分近 5 年出现 4–5 次，属于高频考点。
• 常见题型：解答题（与格林公式结合考查），填空题（直接计算简单曲线积分）。
• 分值占比：单独出题约 4–5 分，与格林公式结合可达 10–12 分。
• 命题趋势：第二类曲线积分常作为格林公式的前置步骤考查，第一类曲线积分偶有独立出题。近年来倾向于将曲线积分与物理应用（做功、环流量）结合。

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六、易错点提醒

1. 错误表现：第二类曲线积分化为定积分时，上下限搞反。 错误原因：不理解参数 $t$ 的起点和终点与曲线方向的关系。 正确做法：下限 $\alpha$ 对应曲线的起点，上限 $\beta$ 对应终点。方向反了，积分值变号。

2. 错误表现：第一类曲线积分的弧长微元计算错误，如将 $ds = \sqrt{x'^2+y'^2} \, dt$ 误写为 $ds = (x'^2+y'^2) \, dt$。 错误原因：弧长微元公式记忆不清，忘记开根号。 正确做法：$ds = \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2} \, dt$，根号不能丢。

3. 错误表现：混淆两类曲线积分，将第二类积分的方向性质用于第一类积分。 错误原因：对两类积分的本质区别认识不清。 正确做法：第一类与方向无关，第二类与方向有关。做题时先分清是哪一类。

4. 错误表现：利用对称性时，对第二类曲线积分也简单套用第一类的对称性规则。 错误原因：第二类曲线积分的对称性需要额外考虑 $dx$、$dy$ 的符号变化。 正确做法：第二类积分的对称性分析更复杂，建议直接参数化计算。

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七、来源标注

• 依据 2026 考研统考大纲（数学一·高等数学·多元函数积分学部分）
• 依据大学本科经典教材共识（同济大学《高等数学》第七版下册）