数学一

高等数学

知识单元 MATH-CAL-21：分部积分法

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一、定位信息

• 圈层：核心层（大纲考点）
• 前置知识回顾：乘积求导法则（MATH-CAL-10）、不定积分的概念与基本公式（MATH-CAL-19）。分部积分法是乘积求导法则的逆用。
• 知识网络定位：本单元是不定积分的另一核心计算方法，与换元积分法（MATH-CAL-20）并列为积分计算的两大支柱。分部积分法特别适用于两类不同函数乘积的积分。
• 考点热度等级：H级（高频重点）。分部积分法是每年必考的积分方法，常与换元法结合出现在解答题中。

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二、知识点讲解

2.1 分部积分公式

定理（分部积分法）：设 $u(x)$ 和 $v(x)$ 都具有连续导数，则

$\int u\,dv = uv - \int v\,du$

或等价地

$\int u(x)v'(x)\,dx = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x)\,dx$

证明思路：由乘积求导法则 $(uv)' = u'v + uv'$，两边积分得

$uv = \int u'v\,dx + \int uv'\,dx$

移项即得 $\int uv'\,dx = uv - \int u'v\,dx$。

直观解释：分部积分法的核心思想是"转移困难"——将难以直接计算的 $\int u\,dv$ 转化为可能更容易计算的 $\int v\,du$。关键在于合理选择 $u$ 和 $dv$，使得转化后的积分比原积分更简单。

2.2 选择 $u$ 和 $dv$ 的原则——LIATE法则

选择 $u$ 的优先顺序（由高到低）：

优先级	函数类型	示例
L	对数函数（Logarithmic）	$\ln x$，$\log_a x$
I	反三角函数（Inverse trig）	$\arcsin x$，$\arctan x$
A	代数函数（Algebraic）	$x$，$x^2$，多项式
T	三角函数（Trigonometric）	$\sin x$，$\cos x$
E	指数函数（Exponential）	$e^x$，$a^x$

口诀："反对幂指三"——反三角、对数、幂函数、指数、三角。排在前面的优先选为 $u$。

原理：选为 $u$ 的函数求导后应变得更简单（或至少不变更复杂），选为 $dv$ 的函数应容易积分。

2.3 分部积分的常见应用模式

模式1：多项式 × 指数/三角函数

$\int x^n e^{ax}\,dx, \quad \int x^n \sin ax\,dx, \quad \int x^n \cos ax\,dx$

取 $u = x^n$，$dv = e^{ax}dx$（或 $\sin ax\,dx$、$\cos ax\,dx$）。每做一次分部积分，多项式的次数降低一次，重复 $n$ 次后完成。

模式2：多项式 × 对数/反三角函数

$\int x^n \ln x\,dx, \quad \int x^n \arctan x\,dx$

取 $u = \ln x$ 或 $\arctan x$（对数和反三角函数求导后变成有理函数，容易处理）。

模式3：指数函数 × 三角函数

$\int e^{ax}\sin bx\,dx, \quad \int e^{ax}\cos bx\,dx$

这类积分需要两次分部积分后会出现"循环"——等式右边出现了与左边相同的积分，然后通过移项解方程求出。

模式4：递推公式

对于 $\int \sin^n x\,dx$、$\int \cos^n x\,dx$、$\int \sec^n x\,dx$ 等，可通过分部积分建立递推公式，逐步降低幂次。

2.4 分部积分的表格法（竖式法）

当需要多次分部积分时（如 $\int x^3 e^x\,dx$），可使用表格法简化计算：

步骤	$D$（求导列）	符号	$I$（积分列）
0	$x^3$	$+$	$e^x$
1	$3x^2$	$-$	$e^x$
2	$6x$	$+$	$e^x$
3	$6$	$-$	$e^x$
4	$0$		$e^x$

规则：斜线连接，交替取正负号，直到求导列为零。

$\int x^3 e^x\,dx = x^3 e^x - 3x^2 e^x + 6x e^x - 6e^x + C = e^x(x^3 - 3x^2 + 6x - 6) + C$

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三、记忆与理解辅助

技巧1：分部积分口诀

"LIATE选u，剩余做dv；一次降一阶，循环解方程。"

技巧2：分部积分与换元法的对比

对比项	换元积分法	分部积分法
数学本质	链式法则的逆用	乘积求导法则的逆用
适用场景	复合函数、含根号	两类不同函数的乘积
核心操作	变量替换	选择 $u$ 和 $dv$
关键技巧	凑微分/三角替换	LIATE法则
常见陷阱	遗忘系数、回代错误	$u$、$dv$ 选择不当导致更复杂

技巧3：循环型分部积分的记忆模板

$\int e^{ax}\sin bx\,dx$ 的标准结果：

$\int e^{ax}\sin bx\,dx = \frac{e^{ax}(a\sin bx - b\cos bx)}{a^2 + b^2} + C$

$\int e^{ax}\cos bx\,dx = \frac{e^{ax}(a\cos bx + b\sin bx)}{a^2 + b^2} + C$

这两个公式在考研中高频出现，建议直接记忆。

技巧4：何时用分部积分

判断标准：被积函数是否为两类不同函数的乘积？如果是，优先考虑分部积分。如果是复合函数，优先考虑换元法。

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四、例题与精解

例1（基础）

命题意图：考查分部积分法的基本运用，多项式与对数函数的乘积。

题目：求不定积分 $\displaystyle\int x\ln x\,dx$。

审题分析：被积函数为代数函数 $x$ 与对数函数 $\ln x$ 的乘积，按LIATE法则，选 $u = \ln x$。

解题思路：令 $u = \ln x$，$dv = x\,dx$，则 $du = \frac{1}{x}dx$，$v = \frac{x^2}{2}$。

完整步骤：

$\int x\ln x\,dx$

令 $u = \ln x$，$dv = x\,dx$

则 $du = \frac{1}{x}\,dx$，$v = \frac{x^2}{2}$

由分部积分公式 $\int u\,dv = uv - \int v\,du$：

$= \frac{x^2}{2}\ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx$

$= \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$

方法反思：对数函数与多项式相乘时，对数函数应选为 $u$（因为求导后变成有理函数），多项式部分归入 $dv$。

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例2（中等——循环型）

命题意图：考查指数函数与三角函数乘积的积分，需要两次分部积分后解方程。

题目：求不定积分 $\displaystyle\int e^{2x}\sin 3x\,dx$。

审题分析：被积函数为指数函数与三角函数的乘积，属于"循环型"，需两次分部积分。

解题思路：连续两次分部积分，等式右边将出现与左边相同的积分项，移项解方程。

完整步骤：

记 $I = \int e^{2x}\sin 3x\,dx$。

第一次分部积分：令 $u = \sin 3x$，$dv = e^{2x}\,dx$

则 $du = 3\cos 3x\,dx$，$v = \frac{1}{2}e^{2x}$

$I = \frac{1}{2}e^{2x}\sin 3x - \int \frac{1}{2}e^{2x} \cdot 3\cos 3x\,dx = \frac{1}{2}e^{2x}\sin 3x - \frac{3}{2}\int e^{2x}\cos 3x\,dx$

第二次分部积分：对 $\int e^{2x}\cos 3x\,dx$，令 $u = \cos 3x$，$dv = e^{2x}\,dx$

则 $du = -3\sin 3x\,dx$，$v = \frac{1}{2}e^{2x}$

$\int e^{2x}\cos 3x\,dx = \frac{1}{2}e^{2x}\cos 3x - \int \frac{1}{2}e^{2x}(-3\sin 3x)\,dx = \frac{1}{2}e^{2x}\cos 3x + \frac{3}{2}\int e^{2x}\sin 3x\,dx$

代入：

$I = \frac{1}{2}e^{2x}\sin 3x - \frac{3}{2}\left[\frac{1}{2}e^{2x}\cos 3x + \frac{3}{2}I\right]$

$I = \frac{1}{2}e^{2x}\sin 3x - \frac{3}{4}e^{2x}\cos 3x - \frac{9}{4}I$

移项：

$I + \frac{9}{4}I = \frac{1}{2}e^{2x}\sin 3x - \frac{3}{4}e^{2x}\cos 3x$

$\frac{13}{4}I = \frac{e^{2x}}{4}(2\sin 3x - 3\cos 3x)$

$I = \frac{e^{2x}(2\sin 3x - 3\cos 3x)}{13} + C$

方法反思：循环型分部积分的关键是：①两次分部积分中 $u$ 的选择要一致（都选三角或都选指数为 $u$）；②移项后别忘了积分常数 $C$。

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五、考情分析

• 考查频次：分部积分法在近5年真题中出现约 5-7次，是高频核心考点。
• 常见题型：解答题（直接计算不定积分或作为定积分计算的关键步骤）。
• 分值占比：解答题8-12分，填空题4-5分。
• 命题趋势：分部积分法常与换元法结合出题，近年也出现过与递推公式、级数展开结合的综合题。循环型分部积分（指数×三角）是经典考点，几乎每隔1-2年出现一次。基于大纲与命题规律推测。

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六、易错点提醒

易错点1：$u$ 和 $dv$ 选择不当

• 错误表现：将 $e^x$ 选为 $u$，将 $\ln x$ 选为 $dv$，导致 $\int v\,du$ 更复杂。
• 错误原因：未遵循LIATE法则。
• 正确做法：按LIATE优先顺序选择 $u$，使得求导后变简单。

易错点2：循环型分部积分中两次 $u$ 的选择不一致

• 错误表现：第一次选三角函数为 $u$，第二次选指数函数为 $u$，导致无法循环。
• 错误原因：两次分部积分的 $u$ 必须是同一类函数。
• 正确做法：两次都选同类函数为 $u$（如都选三角函数或都选指数函数），这样两次积分后才会"回到原点"。

易错点3：分部积分后遗漏负号

• 错误表现：在 $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ 中忘记减号，写成 $uv + \int v\,du$。
• 错误原因：公式记忆不准确。
• 正确做法：牢记公式中是减号。可以对照乘积求导法则 $(uv)' = u'v + uv'$ 来验证。

易错点4：表格法中符号交替出错

• 错误表现：使用竖式法时，符号没有正确交替 $+, -, +, -, \ldots$。
• 错误原因：操作不熟练。
• 正确做法：从第二行开始，符号与上一行相反。第一行取 $+$。

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七、来源标注

• 依据2026考研统考大纲（数学一·高等数学·一元函数积分学）
• 依据大学本科经典教材共识（同济大学《高等数学》第七版）

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本知识单元讲解了分部积分法的原理、技巧与典型应用。与换元法配合使用，可以解决绝大多数不定积分问题。