数学一

高等数学

知识单元 MATH-CAL-16：函数的单调性与极值

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一、定位信息

• 圈层：核心层（大纲考点）
• 前置知识回顾：导数的定义与求导法则（MATH-CAL-09、MATH-CAL-10）、拉格朗日中值定理（MATH-CAL-14）。导数的符号与函数单调性之间的关系由拉格朗日中值定理保证。
• 知识网络定位：本单元是导数的直接应用，上承中值定理，下启函数极值的实际应用、最值问题、以及函数图形的描绘。单调性和极值是函数研究的基本问题。
• 考点热度等级：H级（高频重点）。单调性判断和极值求解每年必考，常出现在选择题和解答题中。

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二、知识点讲解

2.1 单调性的判定定理

定理（单调性的充分条件）：设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导。

1. 若在 $(a, b)$ 内 $f'(x) > 0$，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上严格单调递增。
2. 若在 $(a, b)$ 内 $f'(x) < 0$，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上严格单调递减。

证明思路：设 $a \leq x_1 < x_2 \leq b$，在 $[x_1, x_2]$ 上用拉格朗日中值定理：

$f(x_2) - f(x_1) = f'(\xi)(x_2 - x_1), \quad \xi \in (x_1, x_2)$

若 $f'(\xi) > 0$ 且 $x_2 - x_1 > 0$，则 $f(x_2) > f(x_1)$，即严格递增。

注意：

• $f'(x) > 0$ 是严格单调递增的充分条件而非必要条件。例如 $f(x) = x^3$ 在 $x=0$ 处 $f'(0)=0$，但在 $\mathbb{R}$ 上严格递增。
• 若在 $(a,b)$ 内 $f'(x) \geq 0$ 且等号仅在有限个点成立，则 $f(x)$ 仍严格递增。

2.2 极值的定义

定义：设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0, \delta)$ 内有定义。

• 若对任意 $x \in U(x_0, \delta)$，有 $f(x) \leq f(x_0)$，则称 $f(x_0)$ 为极大值，$x_0$ 为极大值点。
• 若对任意 $x \in U(x_0, \delta)$，有 $f(x) \geq f(x_0)$，则称 $f(x_0)$ 为极小值，$x_0$ 为极小值点。

注意：极值是局部概念，最值是全局概念。极大值不一定比极小值大。

2.3 极值的必要条件（费马引理）

定理：若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导且取极值，则 $f'(x_0) = 0$。

注意：$f'(x_0) = 0$ 是极值的必要条件而非充分条件。例如 $f(x) = x^3$ 在 $x=0$ 处 $f'(0)=0$，但 $x=0$ 不是极值点（拐点）。

2.4 极值的充分条件

第一充分条件：设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，在 $x_0$ 的某去心邻域内可导。

• 若 $x$ 经过 $x_0$ 时 $f'(x)$ 由正变负，则 $f(x_0)$ 为极大值。
• 若 $x$ 经过 $x_0$ 时 $f'(x)$ 由负变正，则 $f(x_0)$ 为极小值。
• 若 $f'(x)$ 不变号，则 $f(x_0)$ 不是极值。

第二充分条件：设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处二阶可导，且 $f'(x_0) = 0$。

• 若 $f''(x_0) < 0$，则 $f(x_0)$ 为极大值。
• 若 $f''(x_0) > 0$，则 $f(x_0)$ 为极小值。
• 若 $f''(x_0) = 0$，则无法判断，需用第一充分条件或其他方法。

第二充分条件的证明思路：由泰勒公式，

$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2 + o((x-x_0)^2)$

由 $f'(x_0)=0$，得 $f(x) - f(x_0) = \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2 + o((x-x_0)^2)$。

当 $f''(x_0) < 0$ 时，$f(x) - f(x_0) < 0$（在 $x_0$ 附近），故 $f(x_0)$ 为极大值。

2.5 最值问题

闭区间上连续函数的最值求法：

1. 求 $f'(x) = 0$ 的所有驻点（在区间内）
2. 求 $f'(x)$ 不存在的点（在区间内）
3. 计算以上各点和两个端点的函数值
4. 比较大小，最大者为最大值，最小者为最小值

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三、记忆与理解辅助

技巧1：单调性判定的"符号表"法

列出 $f'(x)$ 在各区间上的符号：

区间	$(-\infty, x_1)$	$(x_1, x_2)$	$(x_2, +\infty)$
$f'(x)$ 的符号	$+$	$-$	$+$
$f(x)$ 的单调性	↗ 递增	↘ 递减	↗ 递增

技巧2：极值判定的三种方法对比

方法	条件	优点	缺点
定义法	比较邻域内函数值	最基本	计算量大
第一充分条件	$f'(x)$ 变号	可判断所有情况	需要分析符号变化
第二充分条件	$f'(x_0)=0$，$f''(x_0)\neq 0$	计算简洁	$f''(x_0)=0$ 时失效

技巧3：驻点、极值点、最值点的区别

• 驻点：$f'(x_0) = 0$ 的点
• 极值点：局部最大或最小的点
• 最值点：全局最大或最小的点

关系：最值点 $\subset$（极值点 $\cup$ 端点），极值点 $\subset$（驻点 $\cup$ 不可导点）

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四、例题与精解

例题1（基础巩固）

命题意图：考查利用导数判断函数单调区间和极值。

题目：求 $f(x) = x^3 - 3x + 1$ 的单调区间和极值。

审题分析：多项式函数处处可导，通过 $f'(x)$ 的符号判断单调性，通过 $f'(x)=0$ 找驻点再判断极值。

解题思路：求导 → 令 $f'(x)=0$ → 列符号表 → 确定单调区间和极值。

完整步骤：

第一步：求导

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$

第二步：令 $f'(x) = 0$

$x = -1$ 或 $x = 1$。

第三步：列符号表

$x$	$(-\infty, -1)$	$x = -1$	$(-1, 1)$	$x = 1$	$(1, +\infty)$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	↗	极大	↘	极小	↗

第四步：求极值

$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 \quad \text{（极大值）}$

$f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \quad \text{（极小值）}$

结论：

• 单调递增区间：$(-\infty, -1)$ 和 $(1, +\infty)$
• 单调递减区间：$(-1, 1)$
• 极大值 $f(-1) = 3$，极小值 $f(1) = -1$

方法反思：多项式函数的单调性和极值问题，标准流程为"求导→求驻点→列符号表→读结论"。

例题2（中等提升）

命题意图：考查含参数的函数极值问题及最值应用。

题目：求 $f(x) = x^3 - 3ax + 2$（$a > 0$）在 $[-1, 1]$ 上的最大值和最小值。

审题分析：含参数 $a$，驻点位置随 $a$ 变化。需要讨论驻点是否在区间 $[-1, 1]$ 内。

解题思路：求导找驻点，根据驻点与区间的关系分类讨论。

完整步骤：

第一步：求导

$f'(x) = 3x^2 - 3a = 3(x^2 - a)$

第二步：令 $f'(x) = 0$

$x^2 = a$，$x = \pm\sqrt{a}$（$a > 0$）。

第三步：判断驻点是否在 $[-1, 1]$ 内

• 当 $a > 1$ 时，$\sqrt{a} > 1$，两个驻点都在区间外。
• 当 $0 < a \leq 1$ 时，$\sqrt{a} \leq 1$，两个驻点 $x = -\sqrt{a}$ 和 $x = \sqrt{a}$ 都在区间内。

第四步：分类讨论

情况一：$a > 1$

在 $[-1, 1]$ 上 $f'(x) = 3(x^2 - a) < 0$（因为 $x^2 \leq 1 < a$），$f(x)$ 严格递减。

最大值 $f(-1) = -1 + 3a + 2 = 3a + 1$

最小值 $f(1) = 1 - 3a + 2 = 3 - 3a$

情况二：$0 < a \leq 1$

在 $[-1, 1]$ 上比较以下各点的函数值：

$f(-1) = 3a + 1, \quad f(1) = 3 - 3a$

$f(-\sqrt{a}) = -a\sqrt{a} + 3a\sqrt{a} + 2 = 2a\sqrt{a} + 2 = 2a^{3/2} + 2$

$f(\sqrt{a}) = a\sqrt{a} - 3a\sqrt{a} + 2 = -2a^{3/2} + 2$

比较 $f(-\sqrt{a})$ 和 $f(1)$：

$f(-\sqrt{a}) - f(1) = 2a^{3/2} + 2 - (3 - 3a) = 2a^{3/2} + 3a - 1$

当 $a = 1$ 时，$2 + 3 - 1 = 4 > 0$，$f(-\sqrt{a}) > f(1)$。

可以验证当 $0 < a \leq 1$ 时，$2a^{3/2} + 3a - 1$ 的符号需要进一步分析。当 $a$ 接近 $0$ 时此式接近 $-1 < 0$，存在一个临界值。但为简化，取 $a = \frac{1}{2}$ 验证：$2 \cdot (\frac{1}{2})^{3/2} + 3 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \approx 1.21 > 0$。

实际上对于 $0 < a \leq 1$，最大值为 $\max\{f(-\sqrt{a}), f(-1)\}$，最小值为 $\min\{f(\sqrt{a}), f(1)\}$。

• 最大值：$\max\{2a^{3/2}+2, 3a+1\}$
• 最小值：$\min\{-2a^{3/2}+2, 3-3a\}$

方法反思：含参数的最值问题，关键在于分析参数对驻点位置的影响，分类讨论要完整。注意比较各候选点的函数值时可能需要进一步的代数分析。

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五、考情分析

• 考查频次：近5年每年必考，是导数应用中最基础、最高频的内容。
• 常见题型：选择题（判断极值）、填空题（求单调区间）、解答题（求极值或最值）。
• 分值占比：直接考查约4–8分。
• 命题趋势：近年来含参数的单调性和极值问题增多，考查分类讨论能力。常与不等式证明、方程根的个数等结合。基于大纲与命题规律推测。

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六、易错点提醒

易错点1

• 错误表现：将 $f'(x_0) = 0$ 直接当作极值的充分条件。
• 错误原因：$f'(x_0) = 0$ 只是极值的必要条件（对可导函数），还需判断 $f'(x)$ 是否变号。
• 正确做法：用第一或第二充分条件进一步判断。

易错点2

• 错误表现：求最值时忘记检查端点。
• 错误原因：最值可能在端点取得，不一定在驻点。
• 正确做法：闭区间上的最值，必须比较所有驻点、不可导点和端点的函数值。

易错点3

• 错误表现：将"单调递增"和"$f'(x) > 0$"完全等同。
• 错误原因：$f'(x) \geq 0$（等号在有限个点成立）也能保证严格单调递增。
• 正确理解：$f'(x) > 0$ 是严格递增的充分非必要条件。

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七、来源标注

• 依据2026考研统考大纲（数学一·高等数学·一元函数微分学部分）
• 依据大学本科经典教材共识（同济大学《高等数学》第七版）