数学一

高等数学

知识单元 MATH-CAL-26：反常积分（无穷限与无界函数）

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一、定位信息

• 圈层：核心层（大纲考点）
• 前置知识回顾：定积分的定义与性质（MATH-CAL-23）、牛顿-莱布尼茨公式（MATH-CAL-24）。反常积分是定积分在积分区间无穷或被积函数无界时的推广。
• 知识网络定位：本单元是定积分理论的自然延伸，上承定积分的计算，下启级数敛散性判断（反常积分与级数有深刻的类比关系）。反常积分的敛散性判断是考研重点。
• 考点热度等级：H级（高频重点）。反常积分的敛散性判别和计算是高频考点，常以选择题形式出现。

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二、知识点讲解

2.1 无穷限反常积分

定义1（无穷上限积分）：设 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上连续，定义

$\int_a^{+\infty} f(x)\,dx = \lim_{b \to +\infty}\int_a^b f(x)\,dx$

若右端极限存在，则称反常积分 $\int_a^{+\infty}f(x)\,dx$ 收敛；否则称其发散。

定义2（无穷下限积分）：

$\int_{-\infty}^b f(x)\,dx = \lim_{a \to -\infty}\int_a^b f(x)\,dx$

定义3（双向无穷积分）：

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = \int_{-\infty}^c f(x)\,dx + \int_c^{+\infty} f(x)\,dx$

其中 $c$ 为任意实数。右端两个积分都收敛时，左端才收敛。

直观解释：无穷限反常积分是"曲线下方延伸到无穷远的面积"。若面积有限则收敛，否则发散。

2.2 无界函数反常积分（瑕积分）

定义（瑕点在端点）：设 $f(x)$ 在 $(a,b]$ 上连续，$\lim_{x \to a^+}f(x) = \infty$（$a$ 为瑕点），定义

$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+}\int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx$

定义（瑕点在区间内部）：设 $f(x)$ 在 $[a,c) \cup (c,b]$ 上连续，$\lim_{x \to c}f(x) = \infty$，定义

$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$

右端两个积分都收敛时，左端才收敛。

2.3 反常积分的审敛法

比较审敛法：设 $0 \leq f(x) \leq g(x)$（$x \geq a$），

• 若 $\int_a^{+\infty}g(x)\,dx$ 收敛，则 $\int_a^{+\infty}f(x)\,dx$ 收敛；
• 若 $\int_a^{+\infty}f(x)\,dx$ 发散，则 $\int_a^{+\infty}g(x)\,dx$ 发散。

极限审敛法：设 $f(x) \geq 0$，若 $\lim_{x \to +\infty}x^p f(x) = l$，

• 当 $p > 1$，$0 \leq l < +\infty$ 时，$\int_a^{+\infty}f(x)\,dx$ 收敛；
• 当 $p \leq 1$，$0 < l \leq +\infty$ 时，$\int_a^{+\infty}f(x)\,dx$ 发散。

$\Gamma$ 函数：

$\Gamma(s) = \int_0^{+\infty} x^{s-1}e^{-x}\,dx, \quad s > 0$

性质：$\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)$，$\Gamma(1) = 1$，$\Gamma(n+1) = n!$，$\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$。

2.4 常用反常积分的敛散性结论

积分	敛散性	条件
$\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}$	$p>1$ 收敛，$p \leq 1$ 发散	—
$\int_0^1 \frac{dx}{x^p}$	$p<1$ 收敛，$p \geq 1$ 发散	—
$\int_0^{+\infty}e^{-x}\,dx$	收敛（$=1$）	—
$\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x}\,dx$	收敛（$=\frac{\pi}{2}$）	狄利克雷积分

证明思路（$\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}$ 的敛散性）：

当 $p \neq 1$ 时，$\int_1^b \frac{dx}{x^p} = \frac{x^{1-p}}{1-p}\Big|_1^b = \frac{b^{1-p}-1}{1-p}$。

• 若 $p > 1$：$1-p < 0$，$b^{1-p} \to 0$，极限 $= \frac{-1}{1-p} = \frac{1}{p-1}$，收敛。
• 若 $p < 1$：$1-p > 0$，$b^{1-p} \to +\infty$，发散。

当 $p = 1$ 时，$\int_1^b \frac{dx}{x} = \ln b \to +\infty$，发散。

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三、记忆与理解辅助

技巧1：无穷限与瑕积分的对比

对比项	无穷限反常积分	瑕积分
瑕点/无穷	积分限为无穷	被积函数在某点无界
定义方式	$\lim_{b\to+\infty}\int_a^b$	$\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{a+\varepsilon}^b$
核心判据	$\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}$，$p>1$ 收敛	$\int_0^1\frac{dx}{x^p}$，$p<1$ 收敛
记忆口诀	"无穷远，$p>1$ 才收敛"	"瑕点近，$p<1$ 才收敛"

技巧2：$\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}$ 与 $\int_0^1\frac{dx}{x^p}$ 的对偶性

两者互为"对偶"：无穷远处 $\frac{1}{x^p}$ 衰减得越快（$p$ 越大）越容易收敛；瑕点附近 $\frac{1}{x^p}$ 爆炸得越慢（$p$ 越小）越容易收敛。

技巧3：反常积分审敛的"抓大头"原则

判断 $\int_a^{+\infty}f(x)\,dx$ 的敛散性时，关注 $x \to +\infty$ 时 $f(x)$ 的"主部"。例如 $\frac{x^2+1}{x^4+x+1} \sim \frac{1}{x^2}$（$x \to +\infty$），而 $\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^2}$ 收敛（$p=2>1$），故原积分收敛。

技巧4：$\Gamma$ 函数速查

值	结果
$\Gamma(1)$	$1$
$\Gamma(n+1)$	$n!$
$\Gamma(\frac{1}{2})$	$\sqrt{\pi}$
$\Gamma(\frac{3}{2})$	$\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

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四、例题与精解

例1（基础——反常积分的计算）

命题意图：考查无穷限反常积分的基本计算方法。

题目：计算 $\int_0^{+\infty} xe^{-x}\,dx$。

审题分析：被积函数在 $[0,+\infty)$ 上连续，积分上限为无穷，是无穷限反常积分。需要用分部积分法。

解题思路：按定义转化为极限，再用分部积分计算。

完整步骤：

$\int_0^{+\infty} xe^{-x}\,dx = \lim_{b \to +\infty}\int_0^b xe^{-x}\,dx$

对 $\int_0^b xe^{-x}\,dx$ 使用分部积分：令 $u = x$，$dv = e^{-x}\,dx$，则 $du = dx$，$v = -e^{-x}$。

$\int_0^b xe^{-x}\,dx = -xe^{-x}\Big|_0^b + \int_0^b e^{-x}\,dx = -be^{-b} + 0 + \left[-e^{-x}\right]\Big|_0^b$

$= -be^{-b} - e^{-b} + 1 = 1 - e^{-b}(b+1)$

当 $b \to +\infty$ 时，$e^{-b}(b+1) \to 0$（指数衰减快于多项式增长），故

$\int_0^{+\infty}xe^{-x}\,dx = 1$

方法反思：无穷限反常积分的计算分两步：①先求定积分 $\int_a^b$；②再取极限 $b \to +\infty$。关键是判断极限是否存在。常用结论：$\lim_{x\to+\infty}x^n e^{-x} = 0$（对任意 $n$）。

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例2（中等——瑕积分的敛散性判断）

命题意图：考查无界函数反常积分的敛散性判断。

题目：判断 $\int_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx$ 的敛散性，若收敛则求其值。

审题分析：$\ln x \to -\infty$（$x \to 0^+$），$\frac{1}{\sqrt{x}} \to +\infty$（$x \to 0^+$），$x=0$ 是瑕点。需要分析瑕点附近被积函数的行为。

解题思路：用极限审敛法或直接计算。

完整步骤：

方法一：直接计算

令 $t = \sqrt{x}$，即 $x = t^2$，$dx = 2t\,dt$。当 $x: 0 \to 1$ 时 $t: 0 \to 1$。

$\int_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx = \int_0^1 \frac{\ln(t^2)}{t} \cdot 2t\,dt = \int_0^1 4\ln t\,dt$

对 $\int_0^1 \ln t\,dt$：用分部积分，令 $u = \ln t$，$dv = dt$。

$\int_0^1 \ln t\,dt = t\ln t\Big|_0^1 - \int_0^1 1\,dt = (1 \cdot 0 - \lim_{t\to 0^+}t\ln t) - 1$

其中 $\lim_{t\to 0^+}t\ln t = \lim_{t\to 0^+}\frac{\ln t}{1/t} = \lim_{t\to 0^+}\frac{1/t}{-1/t^2} = \lim_{t\to 0^+}(-t) = 0$。

故 $\int_0^1 \ln t\,dt = 0 - 1 = -1$。

原积分 $= 4 \times (-1) = -4$。收敛。

方法二：极限审敛法

在 $x = 0$ 附近，$\frac{\ln x}{\sqrt{x}} \sim \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$。取 $p = \frac{1}{2} < 1$（瑕积分在 $p<1$ 时收敛的基准），考虑

$\lim_{x \to 0^+}x^{1/2} \cdot \frac{|\ln x|}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+}|\ln x| = +\infty$

但 $|\ln x|$ 增长比任何 $x^{-\varepsilon}$（$\varepsilon > 0$）都慢，取 $p = \frac{1}{2} + \varepsilon$（$0 < \varepsilon < \frac{1}{2}$）：

$\lim_{x \to 0^+}x^p \cdot \frac{|\ln x|}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+}x^{p-1/2}|\ln x| = 0 \quad (\text{因 } p - 1/2 > 0)$

由极限审敛法（瑕点处 $p < 1$ 收敛），$p = \frac{1}{2} + \varepsilon < 1$，故积分收敛。

方法反思：瑕积分的审敛关键是确定瑕点位置，然后分析瑕点附近被积函数的"爆炸速度"。$\ln x$ 在 $x=0$ 附近的爆炸比任何 $x^{-\varepsilon}$ 都慢，这是一个重要的经验结论。

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五、考情分析

• 考查频次：反常积分在近5年真题中出现约 5-7次。
• 常见题型：选择题（判断敛散性）、填空题（计算反常积分的值）、解答题（与级数结合）。
• 分值占比：选择题和填空题各4-5分。
• 命题趋势：反常积分的敛散性判断是高频选择题。近年趋势是将反常积分与 $\Gamma$ 函数、概率论中的分布函数结合考查。计算型反常积分常出现在填空题中。基于大纲与命题规律推测。

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六、易错点提醒

易错点1：忽略瑕点，直接用牛-莱公式

• 错误表现：对 $\int_{-1}^1 \frac{dx}{x^2}$ 直接用 $-\frac{1}{x}\Big|_{-1}^1 = -2$。
• 错误原因：$x=0$ 是瑕点，$\frac{1}{x^2}$ 在 $x=0$ 处无界，不能直接用牛-莱公式。
• 正确做法：先检查被积函数在积分区间上是否有瑕点。若有，按瑕积分处理：$\int_{-1}^1 \frac{dx}{x^2} = \int_{-1}^0 \frac{dx}{x^2} + \int_0^1 \frac{dx}{x^2}$，两个积分都发散，故原积分发散。

易错点2：双向无穷积分拆分后只验证一半

• 错误表现：$\int_{-\infty}^{+\infty} x\,dx$ 认为由奇函数性质等于 $0$。
• 错误原因：$\int_{-\infty}^{+\infty}x\,dx = \int_{-\infty}^0 x\,dx + \int_0^{+\infty}x\,dx$，两个积分都发散，故原积分发散。不能用"柯西主值"（$\lim_{A\to+\infty}\int_{-A}^A x\,dx = 0$）代替反常积分的定义。
• 正确做法：双向无穷积分必须两端分别收敛，不能用对称性"抵消"两个发散积分。

易错点3：混淆无穷限积分与瑕积分的审敛标准

• 错误表现：用 $\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}$ 的标准（$p>1$ 收敛）去判断 $\int_0^1\frac{dx}{x^p}$ 的敛散性。
• 错误原因：两类反常积分的审敛标准恰好相反。无穷远处需要"衰减快"（$p>1$），瑕点附近需要"爆炸慢"（$p<1$）。
• 正确做法：牢记"无穷远 $p>1$ 收敛，瑕点 $p<1$ 收敛"。

易错点4：$\Gamma$ 函数的自变量范围

• 错误表现：认为 $\Gamma(0)$ 有意义。
• 错误原因：$\Gamma(s) = \int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}\,dx$ 要求 $s > 0$。当 $s \leq 0$ 时积分发散。
• 正确做法：$\Gamma(s)$ 的定义域为 $s > 0$。

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七、来源标注

• 依据2026考研统考大纲（数学一·高等数学·一元函数积分学）
• 依据大学本科经典教材共识（同济大学《高等数学》第七版）

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本知识单元讲解了反常积分的定义、计算和审敛方法，是定积分理论向无穷和无界情形的推广。