数学一

高等数学

知识单元 MATH-CAL-39：多元函数极值与条件极值、拉格朗日乘数法

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一、定位信息

• 圈层：核心层（大纲考点）
• 前置知识回顾：偏导数与全微分（MATH-CAL-34）、链式法则（MATH-CAL-36）。极值的必要条件依赖偏导数，充分条件依赖二阶偏导数的判别式。
• 知识网络定位：本单元是多元微分学的高级应用和综合应用，上承偏导数、梯度，是多元微分学的核心考点之一。实际应用中的最优化问题（如最大体积、最短距离）大多归结为条件极值。
• 考点热度等级：H级（高频重点）。条件极值（拉格朗日乘数法）是解答题的超高频考点。

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二、知识点讲解

2.1 多元函数的无条件极值

2.1.1 极值的必要条件

设 $z = f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处有极值，且 $f_x(x_0,y_0)$ 和 $f_y(x_0,y_0)$ 都存在，则

$f_x(x_0,y_0) = 0, \quad f_y(x_0,y_0) = 0$

满足此条件的点称为驻点（稳定点）。

证明思路：极值点处，固定 $y=y_0$，$f(x,y_0)$ 作为 $x$ 的一元函数在 $x_0$ 处有极值，故 $f_x(x_0,y_0)=0$。同理 $f_y=0$。

注意：驻点不一定是极值点（如鞍点）。极值点也可能在偏导数不存在的点处。

2.1.2 极值的充分条件

设 $(x_0,y_0)$ 是 $f(x,y)$ 的驻点，记：

$A = f_{xx}(x_0,y_0), \quad B = f_{xy}(x_0,y_0), \quad C = f_{yy}(x_0,y_0)$

令 $\Delta = AC - B^2$，则：

条件	结论
$\Delta > 0$ 且 $A > 0$	极小值
$\Delta > 0$ 且 $A < 0$	极大值
$\Delta < 0$	非极值（鞍点）
$\Delta = 0$	无法判定，需另行分析

证明思路（$\Delta > 0, A > 0$ 的情形）：由泰勒展开，$f(x_0+h, y_0+k) - f(x_0,y_0) \approx \frac{1}{2}(Ah^2 + 2Bhk + Ck^2)$。当 $\Delta > 0, A > 0$ 时，二次型 $Ah^2+2Bhk+Ck^2$ 正定，增量恒正，故为极小值。

2.2 条件极值与拉格朗日乘数法

2.2.1 条件极值问题

在约束条件 $\varphi(x,y,z) = 0$ 下，求 $f(x,y,z)$ 的极值。

例如：在椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 上求到原点距离最远的点。

2.2.2 拉格朗日乘数法

基本思想：构造拉格朗日函数

$L(x,y,z,\lambda) = f(x,y,z) + \lambda\varphi(x,y,z)$

极值的必要条件为：

$\begin{cases} L_x = f_x + \lambda\varphi_x = 0 \\ L_y = f_y + \lambda\varphi_y = 0 \\ L_z = f_z + \lambda\varphi_z = 0 \\ L_\lambda = \varphi(x,y,z) = 0 \end{cases}$

解此方程组得驻点 $(x_0, y_0, z_0)$ 和乘子 $\lambda_0$。

几何解释：在极值点处，$\nabla f$ 与 $\nabla \varphi$ 平行（$\nabla f = -\lambda \nabla \varphi$），即目标函数的梯度与约束曲面的法向量平行。

多个约束条件：若有两个约束 $\varphi_1(x,y,z)=0$ 和 $\varphi_2(x,y,z)=0$，构造

$L = f + \lambda_1\varphi_1 + \lambda_2\varphi_2$

必要条件为 $L_x = L_y = L_z = L_{\lambda_1} = L_{\lambda_2} = 0$。

2.2.3 拉格朗日乘数法的步骤

1. 设目标函数和约束条件
2. 构造拉格朗日函数 $L = f + \lambda\varphi$
3. 求驻点：解 $L_x = L_y = L_z = L_\lambda = 0$
4. 判断极值：通常根据实际问题的物理/几何意义判断是最大值还是最小值（无需用充分条件）

2.3 无条件极值与条件极值对比

对比项	无条件极值	条件极值
问题形式	求 $f(x,y)$ 的极值	在 $\varphi(x,y,z)=0$ 下求 $f$ 的极值
必要条件	$f_x=0, f_y=0$	$\nabla f = -\lambda\nabla\varphi$
求解方法	解驻点 + 充分条件	拉格朗日乘数法
充分判定	$AC-B^2$ 判别法	通常由实际意义判断
自由度	$x,y$ 自由	受约束减少一个自由度

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三、记忆与理解辅助

1. $AC - B^2$ 判别法口诀："$\Delta$ 正看 $A$，$A$ 正极小 $A$ 负极大；$\Delta$ 负是鞍点；$\Delta$ 零不确定"。

2. 拉格朗日乘数法的本质：在约束曲面上找点，使得目标函数的梯度与约束曲面的法向量平行。这意味着在该点处，沿约束曲面的任何方向移动都不会改变目标函数值（一阶近似下）。

3. 实际问题的判断技巧：条件极值问题中，如果实际问题保证最大/最小值存在（如闭区域上的连续函数），且拉格朗日乘数法只找到一个驻点，那这个驻点就是所求的最值点。

4. $AC - B^2$ 的记忆方式：将二阶偏导数排成矩阵 $H = \begin{pmatrix} A & B \ B & C \end{pmatrix}$（Hessian 矩阵），$\Delta = \det(H) = AC - B^2$。$\Delta > 0$ 意味着 Hessian 正定或负定（极值），$\Delta < 0$ 意味着不定（鞍点）。

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四、例题与精解

例题 1（基础巩固）

命题意图：考查无条件极值的求法，包括求驻点和用充分条件判定。

求函数 $f(x,y) = x^3 - y^3 + 3x^2 + 3y^2 - 9x$ 的极值。

审题分析：先求驻点（$f_x=0, f_y=0$），再用 $AC-B^2$ 判别法。

解题思路：标准的无条件极值求解流程。

完整步骤：

$f_x = 3x^2 + 6x - 9 = 3(x^2+2x-3) = 3(x+3)(x-1)$

$f_y = -3y^2 + 6y = -3y(y-2)$

令 $f_x = 0$：$x = -3$ 或 $x = 1$

令 $f_y = 0$：$y = 0$ 或 $y = 2$

驻点为：$(-3,0), (-3,2), (1,0), (1,2)$

$f_{xx} = 6x + 6$，$f_{xy} = 0$，$f_{yy} = -6y + 6$

驻点	$A = f_{xx}$	$B = f_{xy}$	$C = f_{yy}$	$\Delta = AC-B^2$	结论
$(-3,0)$	$-12$	$0$	$6$	$-72 < 0$	鞍点
$(-3,2)$	$-12$	$0$	$-6$	$72 > 0$，$A<0$	极大值
$(1,0)$	$12$	$0$	$6$	$72 > 0$，$A>0$	极小值
$(1,2)$	$12$	$0$	$-6$	$-72 < 0$	鞍点

极大值 $f(-3,2) = -27-8+27+12+27 = 31$

极小值 $f(1,0) = 1-0+3+0-9 = -5$

方法反思：$B=0$ 时 $\Delta = AC$，只需看 $A$ 和 $C$ 是否同号（同号为极值，异号为鞍点）。

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例题 2（中等提升）

命题意图：考查拉格朗日乘数法求条件极值，这是考研中的经典题型。

求椭球面 $\frac{x^2}{4} + y^2 + z^2 = 1$ 上到原点距离最远的点。

审题分析：目标是最大化 $d = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$，等价于最大化 $f(x,y,z) = x^2+y^2+z^2$，约束为 $\varphi(x,y,z) = \frac{x^2}{4}+y^2+z^2-1=0$。

解题思路：构造拉格朗日函数，求驻点。

完整步骤：

构造 $L = x^2+y^2+z^2 + \lambda\left(\frac{x^2}{4}+y^2+z^2-1\right)$

$L_x = 2x + \frac{\lambda x}{2} = x\left(2+\frac{\lambda}{2}\right) = 0 \quad \cdots (1)$

$L_y = 2y + 2\lambda y = 2y(1+\lambda) = 0 \quad \cdots (2)$

$L_z = 2z + 2\lambda z = 2z(1+\lambda) = 0 \quad \cdots (3)$

$L_\lambda = \frac{x^2}{4}+y^2+z^2-1 = 0 \quad \cdots (4)$

分析：

情况一：$\lambda = -2$。代入 $(2)(3)$：$2y(-1)=0$，$2z(-1)=0$，得 $y=0, z=0$。代入 $(4)$：$\frac{x^2}{4}=1$，$x=\pm 2$。驻点 $(\pm 2, 0, 0)$，$f = 4$。

情况二：$\lambda \neq -2$。由 $(1)$，$x=0$。若 $\lambda \neq -1$，由 $(2)(3)$ 得 $y=0, z=0$，代入 $(4)$：$0=1$，矛盾。若 $\lambda = -1$，$(2)(3)$ 自动满足，$y,z$ 任意。代入 $(4)$：$y^2+z^2=1$。$f = y^2+z^2 = 1$。

比较：$f(\pm 2, 0, 0) = 4 > 1$。

因此最远点为 $(2, 0, 0)$ 和 $(-2, 0, 0)$，最远距离为 $d = 2$。

方法反思：拉格朗日乘数法解方程组时，需要分类讨论乘子的取值。实际问题中通常根据几何/物理意义直接判断是最大还是最小。

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五、考情分析

• 考查频次：近五年每年必考或隔年出现，条件极值（拉格朗日乘数法）是解答题的超高频考点。
• 常见题型：解答题（条件极值应用题，如最值问题）、选择题（无条件极值的判定）。
• 分值占比：约 8–12 分（解答题级别）。
• 命题趋势：条件极值常与几何问题（距离、面积、体积）结合，是综合性最强的考点之一。

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六、易错点提醒

1. 错误表现：$AC-B^2 = 0$ 时仍然强行判定极值。

   • 错误原因：对判别法的边界情况理解不足。
   • 正确理解/做法：$\Delta = 0$ 时判别法失效，需要用定义或其他方法（如取特殊路径）来判定。

2. 错误表现：拉格朗日乘数法中，忘记约束条件 $\varphi = 0$ 这个方程。

   • 错误原因：只列出了 $L_x = L_y = L_z = 0$，漏了 $L_\lambda = 0$。
   • 正确理解/做法：$L_\lambda = \varphi(x,y,z) = 0$ 就是约束条件本身，必须包含在方程组中。

3. 错误表现：拉格朗日方程组求解时，直接除以某个变量而忽略该变量为零的情况。

   • 错误原因：代数运算时不够谨慎。
   • 正确理解/做法：如 $x(2+\frac{\lambda}{2})=0$，要分 $x=0$ 和 $2+\frac{\lambda}{2}=0$ 两种情况讨论，不能直接除以 $x$。

4. 错误表现：混淆无条件极值和条件极值的求解方法。

   • 错误原因：不理解约束条件的作用。
   • 正确理解/做法：无约束 → 直接令偏导为零；有约束 → 拉格朗日乘数法。两者不能混用。

5. 错误表现：将 $f$ 的最值问题等价转换时出错（如最大化 $d$ 等价于最大化 $d^2$，但不等价于最大化 $f$ 本身）。

   • 错误原因：等价转换时忽略单调性。
   • 正确理解/做法：$d = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 单调递增，最大化 $d$ 等价于最大化 $d^2 = x^2+y^2+z^2$。但若目标函数不是单调的，不能随意平方。

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七、来源标注

• 依据 2026 考研数学一大纲"多元函数极值与条件极值"部分
• 依据大学本科经典教材《高等数学》（同济大学第七版）第九章